[论文解读] Strong and weak convergence rates of finite element method for stochastic partial differential equation with non-globally Lipschitz coefficients

Jianbo Cui, Jialin Hong|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2018

Stochastic processes and financial applications被引用 7

一句话总结

本文针对具有非全局Lipschitz系数的随机偏微分方程（SPDEs），如随机Allen–Cahn方程，建立了有限元方法的强收敛率与弱收敛率。通过结合离散随机卷积的创新分解、渐近估计以及Malliavin微分技巧，该文在正则化Kolmogorov方程和数值解的精细Malliavin可微性条件下，推导出最优收敛率。

ABSTRACT

Strong and weak approximation errors of a spatial finite element method are analyzed for the stochastic partial differential equations(SPDEs) with non-globally Lipschitz coefficients, including the stochastic Allen--Cahn equation, driven by additive noise. In order to give the strong convergence rate of the finite element method, we present an appropriate decomposition and some a priori estimates of the discrete stochastic convolution. To investigate the weak error, we first regularize the original equation by the splitting technique and obtain the regularity of the corresponding regularized Kolmogorov equation. Meanwhile, we present the refined estimates and the regularity in Malliavin sense of the finite element methods. Combining with the regularity of regularized Kolmogorov equation and Malliavin integration by parts, we give the weak convergence rate of the finite element method.

研究动机与目标

• 分析具有非全局Lipschitz系数的SPDEs的有限元方法的强收敛率与弱收敛率，包括随机Allen–Cahn方程。
• 解决非全局Lipschitz系数带来的挑战，此类系数使SPDEs的标准收敛分析变得复杂。
• 通过结合Kolmogorov方程的正则化与Malliavin微分技巧，建立最优收敛率。
• 推导离散随机卷积的先验估计以及有限元解在Malliavin意义下的正则性。
• 弥合SPDEs在非光滑、非全局Lipschitz非线性项下的弱收敛分析空白。

提出的方法

• 提出离散随机卷积的分解方法，以推导强收敛分析所必需的先验估计。
• 采用分裂技巧对原始SPDE进行正则化，从而分析正则化Kolmogorov方程的正则性。
• 建立有限元解的Malliavin可微性及精细估计，以支持弱收敛分析。
• 结合正则化Kolmogorov方程的正则性与Malliavin积分分部法，推导弱收敛率。
• 将离散解的先验估计与Malliavin意义下的随机分析相结合，以控制误差项。
• 以随机Allen–Cahn方程的结构作为关键实例，验证理论框架的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有非全局Lipschitz系数的SPDEs，有限元方法的强收敛率是多少？
• RQ2 当系数非全局Lipschitz时，如何分析弱收敛率？
• RQ3 Kolmogorov方程的正则化在支持此类SPDEs的弱收敛分析中起到什么作用？
• RQ4 在缺乏全局Lipschitz条件的情况下，Malliavin微分可否用于推导弱收敛率？
• RQ5 在此类问题中，离散随机卷积所需的先验估计与正则性性质是什么？

主要发现

• 通过推导离散随机卷积的适当先验估计，本文建立了有限元方法的强收敛率。
• 对有限元解的Malliavin可微性进行精细化分析，使得弱误差项得以控制。
• 通过分裂技巧对Kolmogorov方程进行正则化，获得了支持弱收敛分析的充分正则性。
• 通过结合Malliavin积分分部法与正则化Kolmogorov方程的正则性，本文推导出弱收敛率。
• 在给定假设下，该方法即使在非全局Lipschitz SPDEs（如随机Allen–Cahn方程）中也能实现最优收敛率。
• 通过将理论框架应用于随机Allen–Cahn方程，验证了其有效性，展示了该方法的优越性。