[论文解读] Strong approximation in h-mass of rectifiable currents under homological constraint

Antonin Chambolle, Luca Alberto Davide Ferrari+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Enhanced Oil Recovery Techniques参考文献 16被引用 1

一句话总结

该论文在同调约束下建立了对可折曲电流的强多面体逼近结果：任意具有有限 h-质量且边界为多面体的可折曲电流 T，可分解为 T = P + ∂V，其中 P 为逼近 T 的多面体电流（满足 Mh(P) < Mh(T) + η），V 为具有任意小 h-质量的可折曲电流（满足 Mh(V) < η）。该结果在保持同调约束 ∂P = ∂T 的前提下，实现了对 h-质量的强逼近。

ABSTRACT

Let h : R $ ightarrow$ R+ be a lower semi-continuous subbadditive and even function such that h(0) = 0 and h($θ$) $\ge$ $α$|$θ$| for some $α$ &gt; 0. The h-mass of a k-polyhedral chain P =$\sum$j $θ$j$σ$j in R n (0 $\le$ k $\le$ n) is defined as M h (P) := j h($θ$j) H k ($σ$j). If T = $τ$ (M, $θ$, $ξ$) is a k-rectifiable chain, the definition extends to M h (T) := M h($θ$) dH k. Given such a rectifiable flat chain T with M h (T) &lt; $\infty$ and $\partial$T polyhedral, we prove that for every $η$ &gt; 0, it decomposes as T = P + $\partial$V with P polyhedral, V rectifiable, M h (V) &lt; $η$ and M h (P) &lt; M h (T) + $η$. In short, we have a polyhedral chain P which strongly approximates T in h-mass and preserves the homological constraint $\partial$P = $\partial$T. These results are motivated by the study of approximations of M h by smoother functionals but they also provide explicit formulas for the lower semicontinuous envelope of T $ ightarrow$ M h (T) + I $\partial$S ($\partial$T) with respect to the topology of the flat norm.

研究动机与目标

• 在同调约束下，建立可折曲电流在 h-质量意义下的强逼近结果。
• 证明任意具有有限 h-质量且边界为多面体的可折曲电流 T，可分解为 T = P + ∂V，其中 P 为多面体电流，V 为可折曲电流，且对任意 η > 0，满足 Mh(P) < Mh(T) + η 与 Mh(V) < η。
• 给出泛函 T ↦ Mh(T) + I∂S(∂T) 在平坦范数拓扑下的下确界连续包络的显式公式。
• 将已知的 Mh 的下确界连续性结果推广至强制 ∂P = ∂T 的约束情形。

提出的方法

• 将 k-可折曲电流 T 的 h-质量定义为 Mh(T) := ∫_M h(θ) dH^k，其中 h 为下确界连续、次可加、偶函数，且满足 h(0) = 0 与 h(θ) ≥ α|θ|（α > 0）。
• 在 Fk(R^n)（k-平坦链空间）上使用平坦范数拓扑，定义收敛性与下确界连续性。
• 应用递归局部形变引理，通过 Whitney 型分解与覆盖论证，迭代地将电流 R 分解为多面体部分 P 与余项 ∂V。
• 利用 White 的可折曲性定理，将有限质量平坦链分解为可折曲部分与弥散部分，其中弥散部分的上密度为零。
• 通过结合可折曲部分的多面体逼近与弥散部分的平坦逼近，构造分解 T = P + ∂V，确保对 P 与 V 的 h-质量实现控制。
• 利用 Federer 与 Fleming 的形变定理，在边界 ∂T 为多面体时进一步优化逼近，确保最终 P 为多面体且误差 V 的 h-质量足够小。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有有限 h-质量且边界为多面体的可折曲电流 T，是否可被多面体电流 P 在 h-质量意义下强逼近，使得 ∂P = ∂T 且 Mh(P) 可任意接近 Mh(T)？
• RQ2 泛函 T ↦ Mh(T) + I∂S(∂T) 在平坦范数拓扑下的下确界连续包络为何？
• RQ3 在 h-质量约束下，如何控制电流的 h-质量，特别是在 Mh(T) < ∞ 且 ∂T 为多面体时？
• RQ4 在何种 h 的条件下，h-质量泛函在平坦链空间上关于平坦收敛仍保持下确界连续？

主要发现

• 对任意 η > 0，具有 Mh(T) < ∞ 且 ∂T 为多面体的可折曲电流 T，均存在分解 T = P + ∂V，其中 P ∈ Pk(R^n)，V ∈ Rk+1(R^n)，满足 Mh(P) < Mh(T) + η 且 Mh(V) < η。
• 该逼近在 h-质量意义下是强的，且保持了同调约束 ∂P = ∂T。
• 该结果在最弱假设下成立：h 为下确界连续、次可加、偶函数，h(0) = 0，且存在 α > 0 使得 h(θ) ≥ α|θ|。
• 当 M(T) < ∞ 但 (1.3) 不成立时，结果仍成立，只需将 h 替换为 ˜h(θ) = |θ| + h(θ)，该函数满足 (1.3)。
• 当 h(θ)/|θ| 有界（即 β < ∞）时，可进一步优化分解，实现对 Mh(P) 与 M(˜V) 的联合控制，并给出以 β 与 η 表示的显式界。
• 在满足 ∂P = ∂S 的电流上限制的 Mh 的下确界连续包络为 Φh^S(T) = inf{lim inf Mh(Pj) + IS(Pj) : Pj → T, Pj 为多面体，∂Pj = ∂S}，当 T 为可折曲电流且 ∂T 为多面体时，该值等于 Mh(T)。