[论文解读] Strong bi-homogeneous Bézout theorem and its use in effective real algebraic geometry

Mohab Safey El Din, Philippe Trébuchet|ArXiv.org|Oct 10, 2006

Polynomial and algebraic computation参考文献 23被引用 9

一句话总结

本文提出了一项强有力的双齐次Bézout定理，该定理界定了在由次数至多为 $D$ 的多项式定义的光滑复代数簇上，投影的临界点集的次数，得到的界为 $D^s(D-1)^{n-s}inom{n}{n-s}$。该方法利用带有双齐次结构的Lagrange方程组，设计了一种概率算法，用于计算光滑实代数集每个连通分支中至少一个点，其最坏情况算术复杂度在该次数界和输入多项式求值复杂度上为多项式。

ABSTRACT

Let f1, ..., fs be a polynomial family in Q[X1,..., Xn] (with s less than n) of degree bounded by D. Suppose that f1, ..., fs generates a radical ideal, and defines a smooth algebraic variety V. Consider a projection P. We prove that the degree of the critical locus of P restricted to V is bounded by D^s(D-1)^(n-s) times binomial of n and n-s. This result is obtained in two steps. First the critical points of P restricted to V are characterized as projections of the solutions of Lagrange's system for which a bi-homogeneous structure is exhibited. Secondly we prove a bi-homogeneous Bézout Theorem, which bounds the sum of the degrees of the equidimensional components of the radical of an ideal generated by a bi-homogeneous polynomial family. This result is improved when f1,..., fs is a regular sequence. Moreover, we use Lagrange's system to design an algorithm computing at least one point in each connected component of a smooth real algebraic set. This algorithm generalizes, to the non equidimensional case, the one of Safey El Din and Schost. The evaluation of the output size of this algorithm gives new upper bounds on the first Betti number of a smooth real algebraic set. Finally, we estimate its arithmetic complexity and prove that in the worst cases it is polynomial in n, s, D^s(D-1)^(n-s) and the binomial of n and n-s, and the complexity of evaluation of f1,..., fs.

研究动机与目标

• 建立投影限制在由次数至多为 $D$ 的多项式定义的光滑复代数簇上时，临界点集的紧致次数界。
• 开发一种算法，用于计算光滑实代数集每个连通分支中至少一个点，推广先前的等维方法。
• 通过避免在中间计算中出现组合爆炸，特别是非等维情形下，改进复杂度界。
• 提供复杂度分析，表明其在双齐次Bézout界和输入系统求值成本上为多项式依赖。

提出的方法

• 将光滑簇上投影的临界点表征为具有显式双齐次结构的Lagrange方程组解的投影。
• 证明一项强有力的双齐次Bézout定理，该定理界定了由双齐次多项式生成的理想之根的理想中各等维分量次数之和。
• 利用双齐次结构界定了多项式组求解过程中中间代数簇的次数，避免了组合爆炸。
• 基于Lagrange乘子设计一种概率算法，用于计算实点集每个连通分支中至少一个点。
• 利用几何求解和有理参数化表示输出，确保输出大小有界。
• 分析算术复杂度，并证明其在 $n$、$s$、双齐次Bézout界 $D^s(D-1)^{n-s}\binom{n}{n-s}$ 以及 $f_1,\ldots,f_s$ 的求值成本上为多项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在由次数至多为 $D$ 的多项式定义的光滑复代数簇上，投影的临界点集的紧致次数界是什么？
• RQ2 在不假设等维性的情况下，能否高效计算光滑实代数集上投影的临界点？
• RQ3 如何利用Lagrange系统中的双齐次结构来避免复杂度中的组合爆炸？
• RQ4 计算光滑实代数集每个连通分支中至少一个点的最坏情况算术复杂度是多少？
• RQ5 此类算法的输出大小能否以几何不变量（如双齐次Bézout界）为基准进行有界？

主要发现

• 由 $s$ 个次数至多为 $D$ 的多项式定义的光滑复代数簇上，投影的临界点集的次数被界为 $D^s(D-1)^{n-s}\binom{n}{n-s}$。
• 双齐次Bézout定理为由双齐次多项式生成的理想之根的理想中各等维分量的次数之和提供了紧致界。
• 当 $(f_1,\ldots,f_s)$ 为正则序列时，该界改进为 $D^s(D-1)^{n-s}\binom{n-1}{n-s}$。
• 所提出的算法以最坏情况算术复杂度在 $n$、$s$、双齐次Bézout界和输入多项式求值成本上为多项式，计算光滑实代数集每个连通分支中至少一个点。
• 该算法的输出大小为光滑实代数集的第一贝蒂数提供了新的、改进的上界。
• 该算法通过去除等维性假设，推广了先前的方法，并避免了早期方法中出现的组合因子 ${\binom{n}{n-d}}$。