[论文解读] Strong Collapse for Persistence

Jean‐Daniel Boissonnat, Siddharth Pritam+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 6被引用 12

一句话总结

本文提出 PH-Collapser，一种通过在序列（包括过滤复形、塔和锯齿结构）中应用强坍缩来加速持久同调（PH）计算的新方法。通过仅用最大单体表示复形并独立且并行地进行坍缩，该方法在保持精确持久同调的同时，显著降低了内存和时间复杂度，在大规模和高维数据集上优于当前最先进的工具 Ripser。

ABSTRACT

We introduce a fast and memory efficient approach to compute the persistent homology (PH) of a sequence of simplicial complexes. The basic idea is to simplify the complexes of the input sequence by using strong collapses, as introduced by J. Barmak and E. Miniam [DCG (2012)], and to compute the PH of an induced sequence of reduced simplicial complexes that has the same PH as the initial one. Our approach has several salient features that distinguishes it from previous work. It is not limited to filtrations (i.e. sequences of nested simplicial subcomplexes) but works for other types of sequences like towers and zigzags. To strong collapse a simplicial complex, we only need to store the maximal simplices of the complex, not the full set of all its simplices, which saves a lot of space and time. Moreover, the complexes in the sequence can be strong collapsed independently and in parallel. Finally, we can compromize between precision and time by choosing the number of simplicial complexes of the sequence we strong collapse. As a result and as demonstrated by numerous experiments on publicly available data sets, our approach is extremely fast and memory efficient in practice.

研究动机与目标

• 解决在大规模、高维数据集上持久同调（PH）计算的高计算和内存开销问题。
• 开发一种在保持精确 PH 的同时简化单纯复形的方法，且适用于标准过滤复形之外的场景。
• 通过使用最大单体而非完整复形表示，减少存储和计算时间。
• 实现对塔和锯齿结构等序列中复形的并行和增量简化。
• 提供一种实用且可扩展的 PH 计算解决方案，使其在真实世界数据集上优于现有软件。

提出的方法

• 该方法使用强坍缩——一种拓扑简化技术——独立且并行地简化序列中的每个复形。
• 通过仅使用其最大单体来表示每个单纯复形，从而减少存储和计算开销。
• 每个复形的核心通过一种贪心算法计算，该算法移除被支配的单体，从而保持同伦型和 PH 不变。
• 坍缩复形之间的诱导映射源自原始单纯映射，确保核心序列与原始序列具有相同的 PH。
• 该算法的时间复杂度为 O(v²Γ₀d + m²Γ₀d)，其中 v 为顶点数，m 为最大单体数，Γ₀ 为每个顶点关联的最大单体数，d 为维度。
• 在坍缩的核心序列上使用标准算法计算 PH，仅在必要时才重建完整复形以输出 PH。

实验结果

研究问题

• RQ1 强坍缩是否可用于加速包括塔和锯齿结构等非过滤类型在内的多样化序列中的 PH 计算？
• RQ2 与完整单体表示相比，最大单体数量的减少在多大程度上能降低内存和时间开销？
• RQ3 在大规模、高维数据集上，强坍缩的性能与现有 PH 软件（如 Ripser）相比如何？
• RQ4 是否可以通过控制坍缩的复形数量来调节该方法的精度与效率之间的平衡？
• RQ5 在实际应用中，强坍缩实现的压缩比率具有哪些理论保证？

主要发现

• 在高维 Rips 复形上，PH-Collapser 相较于 Ripser 最快实现了 100 倍的加速，尤其在维度高于 7 时，Ripser 因内存溢出而崩溃。
• 在包含 297 个点、阈值为 0.3 的 eleg 数据集上，PH-Collapser 在 578.3 秒内计算出全维数的 PD，而 Ripser 在维度 5 时因内存限制失败。
• 对于 netw-sc 数据集，PH-Collapser 在 144 秒内计算出维度 7 以内的 PD，而 Ripser 仅计算维度 7 就耗时 357 秒，并在更高维度失败。
• 该方法通过仅存储最大单体显著降低了内存使用量，而最大单体数量通常远少于总单体数，尤其在高维复形中更为明显。
• 该方法在所有数据集上均实现了近乎即时的预处理，总计算时间主要由在坍缩核心上计算 PH 所主导。
• 由于采用了细粒度的快照步骤，PH-Collapser 与 Ripser 输出之间的瓶颈距离极小，验证了该方法的准确性。