[论文解读] Strong Convergence for Discrete Nonlinear Schrödinger equations in the Continuum Limit

Younghun Hong, Changhun Yang|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 15被引用 12

一句话总结

该论文在最优正则性和非线性条件下，严格建立了在格点 $h\mathbb{Z}^d$ 上的离散非线性薛定谔方程（DNLS）解在 $h \to 0$ 时向连续非线性薛定谔方程（NLS）解的强收敛性。关键贡献在于利用关于 $h$ 一致的 Strichartz 估计以及适用于离散设置的色散 PDE 技术，精确得到了收敛速率 $O(h^{\alpha/(1+\alpha)})$。

ABSTRACT

We consider discrete nonlinear Schrödinger equations (DNLS) on the lattice $h\mathbb{Z}^d$ whose linear part is determined by the discrete Laplacian which accounts only for nearest neighbor interactions, or by its fractional power. We show that in the continuum limit $h o 0$, solutions to DNLS converge strongly in $L^2$ to those to the corresponding continuum equations, but a precise rate of convergence is also calculated. In particular cases, this result improves weak convergence in Kirkpatrick, Lenzmann and Staffilani \cite{KLS}. Our proof is based on a suitable adjustment of dispersive PDE techniques to a discrete setting. Notably, we employ uniform-in-$h$ Strichartz estimates for discrete linear Schrödinger equations in \cite{HY}, which quantitatively measure dispersive phenomena on the lattice. Our approach could be adapted to a more general setting like \cite{KLS} as long as the desired Strichartz estimates are obtained.

研究动机与目标

• 严格建立在 $h\mathbb{Z}^d$ 上的离散非线性薛定谔方程（DNLS）在 $h \to 0$ 时向连续 NLS 的连续极限。
• 在 Kirkpatrick、Lenzmann 和 Staffilani 的弱收敛结果基础上，通过证明 $L^2$ 强收敛性实现改进。
• 为连续极限在 $L^2$-范数下的收敛性推导出精确的定量收敛速率。
• 将色散 PDE 技术——特别是关于 $h$ 一致的 Strichartz 估计——推广至离散格点设置。
• 提供一个通用框架，若线性部分具备合适的 Strichartz 估计，则可适用于更广泛的离散色散方程类。

提出的方法

• 通过采用关于 $h$ 一致的离散线性薛定谔方程的 Strichartz 估计，将连续色散 PDE 技术适配至离散格点。
• 使用离散化算子 $f_h$ 将连续函数映射至格点函数，以及使用插值算子 $p_h$ 将格点函数映射回连续空间。
• 通过将误差分解为四项：线性演化误差、非线性不匹配误差、插值误差和初值误差，建立误差估计。
• 利用 Grönwall 不等式控制非线性相互作用随时间累积的影响。
• 利用守恒律和 Gagliardo-Nirenberg 不等式，推导出连续与离散解的时间平均 $L^∞$ 估计。
• 利用通过傅里叶乘子定义的分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^\alpha$ 及其在格点 $h\mathbb{Z}^d$ 上的离散形式 $(-\Delta_h)^\alpha$。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在离散非线性薛定谔方程的连续极限中建立强收敛性，而非仅弱收敛？
• RQ2 当 $h \to 0$ 时，DNLS 解在 $L^2$-范数下向连续 NLS 解的精确收敛速率是什么？
• RQ3 关于 $h$ 一致的 Strichartz 估计是否可用于控制连续极限中非线性误差项？
• RQ4 在何种正则性和非线性条件下，连续极限可实现强收敛并具有显式收敛速率？
• RQ5 如何系统性地将色散 PDE 技术适配至离散格点问题，以获得此类收敛结果？

主要发现

• 在格点 $h\mathbb{Z}^d$ 上的离散非线性薛定谔方程解在 $h \to 0$ 时，于 $L^2$ 范数下强收敛于连续 NLS 解。
• 收敛速率被量化为 $\|u(t) - p_h u_h(t)\|_{L^2} \lesssim h^{\alpha/(1+\alpha)} e^{B|t|} (1 + \|u_0\|_{H_h^\alpha})^p$，显式依赖于时间和初始数据。
• 该结果改进了 Kirkpatrick、Lenzmann 和 Staffilani 对一维立方 DNLS 且具有长程相互作用情况下的先前弱收敛结果。
• 关于 $h$ 一致的 Strichartz 估计对于离散线性薛定谔方程是证明所必需且充分的，可有效控制格点上的色散效应。
• 通过守恒律和 Gagliardo-Nirenberg 不等式，推导出离散与连续解的时间平均 $L^\infty$ 估计，这对处理非线性项至关重要。
• 该框架具有通用性，若线性部分具备关于 $h$ 一致的 Strichartz 估计，则可推广至其他离散色散方程。