[论文解读] Strong convergence in the motivic Adams spectral sequence

Jonas Irgens Kylling, Glen Matthew Wilson|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2019

Analytic and geometric function theory参考文献 34被引用 7

一句话总结

该论文在素数2下对具有有限虚拟上同调维数的域，以及在奇素数下对任意域，建立了球谱上的动机Adams谱序列的强收敛性。证明了在如ℚ这样的数域上强收敛性不成立，并利用Ext群中的消去区域和Bockstein谱序列推导出指数的界，计算了零阶(ℓ,η)-完成动机稳定茎。

ABSTRACT

We prove strong convergence results for the motivic Adams spectral sequence of the sphere spectrum over fields with finite virtual cohomological dimension at the prime 2, and over arbitrary fields at odd primes. We show that the motivic Adams spectral sequence is not strongly convergent over number fields. As applications we give bounds on the exponents of the $(\ell,η)$-completed motivic stable stems, and calculate the zeroth $(\ell,η)$-completed motivic stable stems.

研究动机与目标

• 确定球谱在一般基域上动机Adams谱序列的收敛性质。
• 解决强收敛性问题，该问题因存在无限ρ-挠时衍生E∞-项非零而受阻。
• 通过Milnor K-理论和动机Steenrod代数的结构，将拓扑中的消去线扩展到动机设定中。
• 计算(ℓ,η)-完成动机稳定茎的指数界，并确定零阶此类茎。
• 通过完成和滤过性，阐明动机稳定同伦群与Milnor-Witt K-理论之间的关系。

提出的方法

• 利用实闭包上的动机Ext与域上动机Ext之间的扩展谱序列，借助ℤ/2[ρ]-模结构。
• 通过分析可能存在无限h₀-塔的锥w ≤ t−s ≤ 0，对动机Adams谱序列的E₂页应用消去线论证。
• 在奇素数下使用ℓ-Bockstein谱序列，将拓扑中的消去线扩展到动机设定中。
• 分析K^{MW}_n上的滤过性，并通过映射Φ将其与动机稳定同伦群中的Adams滤过性联系起来。
• 构造映射Φ:  widehat{K^{MW}_n} → π_{-n,-n}(mathbf{S}_{ℓ,η}^wedge)，并证明其在完成下诱导同构。
• 利用H-完成与(ℓ,η)-完成一致的事实（由Mantovani的结果），将强收敛性归约为衍生E∞-项的消去。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种基域条件下，球谱的动机Adams谱序列实现强收敛？
• RQ2 为何在如ℚ这样的数域上强收敛性不成立，尽管E₂页具有有限型？
• RQ3 动机Ext群中的消去区域——尤其是h₀-塔锥中——如何控制收敛性？
• RQ4 在何种程度上可利用Bockstein或扩展谱序列，将拓扑Ext中的消去线扩展到动机设定中？
• RQ5 零阶(ℓ,η)-完成动机稳定茎的结构是什么？稳定茎的指数行为如何？

主要发现

• 在p=2时，对具有有限虚拟上同调维数的域，球谱的动机Adams谱序列实现强收敛，这是由于衍生E∞-项的消去。
• 在如ℚ这样的数域上，谱序列不实现强收敛，这是由于K^M_*(ℚ)/2中存在无限ρ-挠导致衍生E∞-项非零。
• 零阶(ℓ,η)-完成动机稳定茎同构于ℓ=2时的k_n，以及ℓ为奇数时的varprojlim_k K^M_n/ℓ^k，后者在n<0时消去。
• 当ℓ=2时，π_{-n,-n}(mathbf{S})的ℓ-完成同构于完成widehat{K^{MW}_n}，且映射Φ在完成下诱导同构。
• 在具有有限虚拟上同调维数的域上，衍生E∞-项消去，从而通过Boardman的收敛性准则实现强收敛。
• 在奇素数下，ℓ-Bockstein谱序列允许将拓扑消去线扩展到动机设定中，从而确保球谱在任意域上的收敛性。