[论文解读] Strong Convergence of Forward-Backward-Forward Methods for Pseudo-monotone Variational Inequalities with Applications to Dynamic User Equilibrium in Traffic Networks

Benoît Duvocelle, Dennis Meier+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2019

Optimization and Variational Analysis参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新型的前向-后向-前向（FBF）算法，在无限维希尔伯特空间中求解伪单调变分不等式，具有强收敛性，特别应用于交通网络中的动态用户均衡（DUE）。该方法通过一种简单且计算成本低廉的改进，增强了Tseng的FBF方案，确保在无需全局单调性或Lipschitz常数先验知识的情况下，强收敛于最小范数解，并在Nguyen和Sioux Falls网络的数值实验中表现出与最先进求解器相当的性能。

ABSTRACT

In infinite-dimensional Hilbert spaces we device a class of strongly convergent primal-dual schemes for solving variational inequalities defined by a Lipschitz continuous and pseudomonote map. Our novel numerical scheme is based on Tseng's forward-backward-forward scheme, which is known to display weak convergence, unless very strong global monotonicity assumptions are made on the involved operators. We provide a simple augmentation of this algorithm which is computationally cheap and still guarantees strong convergence to a minimal norm solution of the underlying problem. We provide an adaptive extension of the algorithm, freeing us from requiring knowledge of the global Lipschitz constant. We test the performance of the algorithm in the computationally challenging task to find dynamic user equilibria in traffic networks and verify that our scheme is at least competitive to state-of-the-art solvers, and in some case even improve upon them.

研究动机与目标

• 开发一种在无限维希尔伯特空间中求解变分不等式的数值方案，即使在弱单调性假设（如伪单调性）下也能保证强收敛。
• 解决交通网络中动态用户均衡（DUE）的计算挑战，其中延迟算子缺乏闭式表达且不具强单调性。
• 设计一种迭代成本低廉且具有强收敛性的算法，克服现有方法依赖强单调性或需要昂贵投影步骤的局限。
• 通过自适应步长策略，使算法摆脱对算子全局Lipschitz常数先验知识的依赖。
• 在真实世界交通网络实例上验证该方法的性能，与最先进求解器在收敛速度和解质量方面进行比较。

提出的方法

• 所提方法是Tseng原始前向-后向-前向（FBF）方案的自适应增强版本，该方案在Lipschitz连续性和伪单调性下仅表现出弱收敛。
• 关键创新在于对FBF迭代进行一种简单且计算成本低廉的修改，确保强收敛于变分不等式的最小范数解。
• 引入自适应线搜索策略，以避免对算子全局Lipschitz常数的先验知识需求。
• 通过将动态用户均衡（DUE）问题表述为以延迟算子作为单调映射的变分不等式，将该算法应用于DUE问题。
• 采用LWR模型实现的动态网络加载（DNL）过程，在每次迭代中计算延迟算子，从而在路径流空间中求解变分不等式。
• 使用开源DTA工具箱在MATLAB中实现该方法，并通过连续迭代之间的相对间隙来监控收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否对前向-后向-前向方法进行修改，使其在仅满足Lipschitz连续性和伪单调性假设下，于希尔伯特空间中对伪单调变分不等式实现强收敛，而无需强单调性？
• RQ2 能否设计一种计算高效的DUE算法，确保强收敛性并避免昂贵的投影步骤？
• RQ3 所提出的自适应、强收敛FBF方案在基准交通网络上的收敛速度和解质量方面，与投影梯度法等现有求解器相比表现如何？
• RQ4 该算法能否在无需事先知晓延迟算子全局Lipschitz常数的情况下运行，自适应步长策略的有效性如何？
• RQ5 强收敛性保证在多大程度上提升了复杂交通网络中DUE计算的可靠性与鲁棒性？

主要发现

• 所提FBF算法在仅依赖Lipschitz连续性和伪单调性假设下，即可实现对变分不等式最小范数解的强收敛，无需强单调性要求。
• 该算法的自适应变体成功避免了对全局Lipschitz常数的先验知识需求，显著提升了实际适用性。
• 在Nguyen网络的数值实验中，所提FBF方法在收敛速度和解质量方面优于投影梯度法，表现为更低的O-D间隙。
• 在更大的Sioux Falls网络中，FBF方法在迭代复杂度和O-D间隙分布方面与投影梯度法表现相当，同时保持了强收敛性。
• 两个网络的相对间隙（epsilon）均降至10^-4以下，表明收敛充分，FBF方法在Nguyen网络中表现出微弱优势。
• O-D间隙的直方图显示，大多数间隙位于0.1至0.3之间，表明早期终止，但FBF方法在Nguyen网络中实现了更优的整体分布和更低的最大间隙，优于投影方法。