[论文解读] Strong convergence of propagation of chaos for McKean-Vlasov SDEs with singular interactions

Zimo Hao, Michael Röckner+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2022

Stochastic processes and financial applications被引用 6

一句话总结

本论文通过将 Krylov-Röckner 的强适定性理论扩展至混合 $L^p$-漂移的 SDE，结合热核估计与 Zvonkin 变换，建立了具有奇异 $L^p$-相互作用和中等相互作用核的 McKean-Vlasov SDE 的传播混沌的强收敛性。通过熵方法与 Girsanov 型论证，证明了在有界可测相互作用下的最优收敛速率，解决了路径上粒子系统逼近中的关键挑战。

ABSTRACT

In this work we show the strong convergence of propagation of chaos for the particle approximation of McKean-Vlasov SDEs with singular $L^p$-interactions as well as for the moderate interaction particle systems on the level of particle trajectories. One of the main obstacles is to establish the strong well-posedness of the SDEs for particle systems with singular interaction. To this end, we extend the results on strong well-posedness of Krylov and Röckner \cite{Kr-Ro} to the case of mixed $L^p$-drifts, where the heat kernel estimates play a crucial role. Moreover, when the interaction kernel is bounded measurable, we also obtain the optimal rate of strong convergence, which is partially based on Jabin and Wang's entropy method \cite{JW16} and Zvonkin's transformation.

研究动机与目标

• 在粒子系统极限下，建立具有奇异 $L^p$-相互作用的 McKean-Vlasov SDE 的传播混沌的强收敛性。
• 将 Krylov 与 Röckner 的强适定性理论扩展至具有混合 $L^p$-漂移的 SDE，以支持对奇异相互作用项的分析。
• 在相互作用核为有界可测时，推导中等相互作用粒子系统的最优收敛速率。
• 通过先进的随机分析技术，克服具有奇异漂移的 $N$-粒子系统在路径上的适定性挑战。

提出的方法

• 通过热核估计与 Zvonkin 变换，将 Krylov-Röckner 的强适定性结果扩展至具有混合 $L^p$-漂移的 SDE。
• 应用 Zvonkin 变换对 SDE 进行正则化，建立具有奇异相互作用的粒子系统路径唯一性与强解。
• 采用 Jabin 与 Wang 的熵方法，推导在有界可测相互作用核下的最优收敛速率。
• 利用 Girsanov 变换与相对熵论证，控制粒子系统的密度及其向极限测度的收敛性。
• 应用 Volterra 型 Gronwall 不等式，控制中等相互作用情形下近似密度与真实密度之间 $L^\frown{\infty}$-范数的差异。
• 通过 PDE 解构造 $C^1$-微分同胚，将粒子过程与极限过程耦合，借助 Itô 公式实现路径上的比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有奇异 $L^p$-相互作用的 McKean-Vlasov SDE 建立传播混沌的强收敛性？
• RQ2 如何为具有奇异、混合 $L^p$-漂移的 $N$-粒子系统证明强适定性？
• RQ3 在有界可测核下，中等相互作用粒子系统的最优强收敛速率为何？
• RQ4 Zvonkin 变换与热核估计能否用于在粒子系统逼近背景下正则化奇异漂移？
• RQ5 Jabin 与 Wang 的熵方法在有界可测相互作用情形下，其收敛速率的紧致性如何？

主要发现

• 论文在 $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 1$ 条件下，建立了 $N$-粒子系统经验测度向具有奇异 $L^p$-相互作用的 McKean-Vlasov SDE 解的强收敛性。
• 通过将 Krylov-Röckner 框架扩展至混合 $L^p$-漂移 SDE，证明了其强适定性，关键依赖于热核估计。
• 在有界可测相互作用核下，获得最优收敛速率 $\varepsilon^\beta$，其中 $\beta \in (0, \gamma_0)$，在适当的正则性假设下成立。
• 通过熵方法与 Zvonkin 变换的结合，得到 $\mathbb{E}|X^{N,1}_t - X_t|^{2\gamma} \lesssim \varepsilon^{2\beta}$，其中 $\gamma \in (0,1)$。
• 近似密度与真实密度之间 $L^\infty$-范数的差异满足 $\|\rho^\varepsilon_t - \rho_t\|_{L^\infty} \lesssim t^{-\beta/2} \varepsilon^\beta$，确认了密度意义下的收敛速率。
• 分析依赖于对密度差异应用 Volterra 型 Gronwall 不等式，其核的衰减速率由热核估计与相互作用核的正则性控制。