[论文解读] Strong convergence rate of a full discretization for stochastic Cahn--Hilliard equation driven by space-time white noise

Jianbo Cui, Jialin Hong+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2018

Stochastic processes and financial applications被引用 8

一句话总结

本论文提出了一种全离散格式，结合空间谱伽辽金法与时间加速隐式欧拉方法，用于求解带有时空白噪声的随机Cahn--Hilliard方程。该工作在负Sobolev空间中建立了最优强收敛速率，实现了空间的精确收敛与时间的超收敛，是该方程在时空白噪声驱动下首次获得此类结果。

ABSTRACT

In this article, we consider the stochastic Cahn--Hilliard equation driven by space-time white noise. We discretize this equation by using a spatial spectral Galerkin method and a temporal accelerated implicit Euler method. The optimal regularity properties and uniform moment bounds of the exact and numerical solutions are shown. Then we prove that the proposed numerical method is strongly convergent with the sharp convergence rate in a negative Sobolev space. By using an interpolation approach, we deduce the spatial optimal convergence rate and the temporal super-convergence rate of the proposed numerical method in strong convergence sense. To the best of our knowledge, this is the first result on the strong convergence rates of numerical methods for the stochastic Cahn--Hilliard equation driven by space-time white noise. This interpolation approach is also applied to the general noise and high dimension cases, and strong convergence rate results of the proposed scheme are given.

研究动机与目标

• 为解决现有数值格式在时空白噪声驱动的随机Cahn--Hilliard方程上缺乏强收敛速率结果的问题。
• 建立精确解与数值解的最优正则性及一致矩有界性。
• 为所提出的全离散格式在负Sobolev空间中推导出精确的强收敛速率。
• 通过插值方法将收敛性分析推广至一般噪声与高维情形。
• 在强收敛意义下验证空间最优收敛与时间超收敛。

提出的方法

• 采用空间谱伽辽金法近似随机Cahn--Hilliard方程的空间分量。
• 使用时间加速隐式欧拉方法对时间演化进行离散，确保数值稳定与收敛性。
• 应用插值技术连接正则性估计，推导出在强范数下的收敛速率。
• 理论分析证明了精确解与数值解的最优正则性性质及一致矩有界性。
• 通过相同的插值框架，将方法推广至一般乘性噪声与更高空间维数情形。
• 在负Sobolev空间中进行收敛性分析，以处理时空白噪声带来的不规则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于时空白噪声驱动的随机Cahn--Hilliard方程，其全离散格式的强收敛速率是多少？
• RQ2 能否在强收敛意义下实现该方程的空间最优收敛与时间超收敛？
• RQ3 在所提格式下，精确解与数值解的正则性及矩有界性行为如何？
• RQ4 插值方法能否推广至处理任意噪声结构与高维情形？
• RQ5 该问题在负Sobolev空间中的收敛速率有多精确？

主要发现

• 所提出的数值方法在时空白噪声驱动的随机Cahn--Hilliard方程中，于负Sobolev空间实现了精确的强收敛速率。
• 通过插值方法推导出最优空间收敛速率，验证了方法在空间精度上的有效性。
• 建立了时间超收敛，表明其时间收敛速度优于标准方法。
• 证明了精确解与数值解的统一矩有界性及最优正则性性质。
• 基于插值的分析方法成功推广至一般噪声与高维设置，获得了强收敛结果。
• 本工作首次为时空白噪声驱动的随机Cahn--Hilliard方程的数值格式提供了强收敛速率结果。