[论文解读] Strong convergence rates and temporal regularity for Cox-Ingersoll-Ross processes and Bessel processes with accessible boundaries

Martin Hutzenthaler, Arnulf Jentzen+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用 23

一句话总结

本文建立了 Cox-Ingersoll-Ross (CIR) 和 Bessel 过程在边界可访问情况下的漂移隐式平方根 Euler 近似方法的正向强收敛速率——这对 Heston 模型模拟至关重要。关键贡献在于，在边界可访问且 $ 2\delta/\beta^2 > 1/2 $ 的情形下，证明了 $ L^p $-强收敛速率 $ \varepsilon - \frac{(2\delta/\beta^2)\wedge 1 - 1/2}{p\vee 1} $，其中 $ p \in (0,\infty) $，该结果依赖于 Bessel 过程在 $ L^p $ 中的时变 $ \frac{1}{2} $-Hölder 连续性。

ABSTRACT

Cox-Ingersoll-Ross (CIR) processes are widely used in financial modeling such as in the Heston model for the approximative pricing of financial derivatives. Moreover, CIR processes are mathematically interesting due to the irregular square root function in the diffusion coefficient. In the literature, positive strong convergence rates for numerical approximations of CIR processes have been established in the case of an inaccessible boundary point. Since calibrations of the Heston model frequently result in parameters such that the boundary is accessible, we focus on this interesting case. Our main result shows for every $p \in (0, \infty)$ that the drift-implicit square-root Euler approximations proposed in Alfonsi (2005) converge in the strong $L^p$-distance with a positive rate for half of the parameter regime in which the boundary point is accessible. A key step in our proof is temporal regularity of Bessel processes. More precisely, we prove for every $p \in (0, \infty)$ that Bessel processes are temporally $1/2$-Hölder continuous in $L^p$.

研究动机与目标

• 在边界点零可访问的情形下，建立 CIR 过程时间离散近似方法的正向强收敛速率，该情形在 Heston 模型校准中常见。
• 解决文献中关于 CIR 过程在边界可访问时（特别是参数范围 $ 2\delta < \beta^2 $）缺乏收敛速率结果的问题。
• 证明 Bessel 过程在 $ L^p $ 中的时变 $ \frac{1}{2} $-Hölder 连续性，该结果作为主收敛结果的关键技术工具。
• 将收敛速率分析扩展至漂移隐式平方根 Euler 格式，该格式在数值上稳定且在金融工程中广泛应用。

提出的方法

• 通过分析指数逆矩并应用 Itô 引理于 CIR 过程的平方根变换，推导 Bessel 过程在 $ L^p $ 中的时变 $ \frac{1}{2} $-Hölder 正则性。
• 通过 $ Z_t = \sqrt{X_t} $ 变换 CIR SDE，得到带加法噪声的 Bessel 型 SDE，从而在边界可访问条件下实现分析。
• 采用 Alfonsi (2005) 提出的漂移隐式平方根 Euler 格式，确保 $ X_t $ 近似中非负性与稳定性。
• 建立 $ X_t^{-q} $ 的矩界，其中 $ q < \frac{2\delta}{\beta^2} $，这对控制零点附近漂移系数至关重要。
• 通过测度变换和变换 $ \phi(x) = \frac{2}{\beta}\sqrt{x} $ 将问题转化为适合强收敛分析的形式。
• 结合时变正则性与矩估计，推导出线性插值近似在 $ L^p $-范数下的最终收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 当边界可访问时，漂移隐式平方根 Euler 格式在 CIR 过程中的强收敛速率是多少？
• RQ2 即使边界可访问，是否可建立 Bessel 过程在 $ L^p $ 中的时变 $ \frac{1}{2} $-Hölder 连续性？
• RQ3 在边界可访问情形下，$ X_t^{-q} $ 的矩估计行为如何？其在收敛性分析中起什么作用？
• RQ4 当 $ 2\delta/\beta^2 > 1/2 $ 时，$ L^p $-强收敛的最优收敛速率是多少？其如何依赖于 $ p $？
• RQ5 在边界可访问条件下，能否在 $ L^p $-范数下将收敛速率提升至超过 $ \frac{1}{2} $？

主要发现

• 在 $ 2\delta/\beta^2 > 1/2 $ 条件下，漂移隐式平方根 Euler 近似在 $ L^p $-范数下以速率 $ \varepsilon - \frac{(2\delta/\beta^2)\wedge 1 - 1/2}{p\vee 1} $ 收敛，对所有 $ p \in (0,\infty) $ 成立。
• Bessel 过程在所有 $ p \in (0,\infty) $ 下于 $ L^p $ 中具有时变 $ \frac{1}{2} $-Hölder 连续性，该结果通过指数逆矩估计证明。
• 当 $ \delta > \frac{\beta^2}{4} $ 时，若 $ p $ 较小，则 $ L^p $-范数下的收敛速率超过 $ \frac{1}{2} $，反映出更强的正则性。
• 收敛速率在时间区间 $ [0,T] $ 上一致，且界依赖于 $ 2\delta/\beta^2 $ 与 1 的距离以及 $ p $ 的选择。
• 分析确认，即使在边界可访问时，漂移隐式格式仍保持稳定与收敛，填补了文献中的空白。
• 该方法适用于 CIR 和 Bessel 过程，其中 CIR 过程通过平方根变换转化为 Bessel 型 SDE 处理。