[论文解读] Strong convergence rates for an explicit numerical approximation method for stochastic evolution equations with non-globally Lipschitz continuous nonlinearities

Arnulf Jentzen, Primož Pušnik|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 47被引用 43

一句话总结

本文提出了一种新颖的显式、易于实现的数值格式，用于带有非全局Lipschitz连续非线性的半线性随机演化方程。通过引入非线性项截断的指数Euler方法，并采用Bootstrap型论证，作者首次在该背景下建立了Lp范数下的强收敛速率，全离散格式的收敛速率最高可达1/2阶。

ABSTRACT

In this article we propose a new, explicit and easily implementable numerical method for approximating a class of semilinear stochastic evolution equations with non-globally Lipschitz continuous nonlinearities. We establish strong convergence rates for this approximation method in the case of semilinear stochastic evolution equations with globally monotone coefficients. Our strong convergence result, in particular, applies to a class of stochastic reaction-diffusion partial differential equations.

研究动机与目标

• 为带有非全局Lipschitz连续非线性的随机演化方程开发一种显式且计算高效的数值方法。
• 在非全局Lipschitz但全局单调的系数存在下，建立此类方法的强收敛速率。
• 克服经典显式格式（如Euler-Maruyama方法）在应用于具有超线性增长非线性的方程时出现的发散问题。
• 为SPDEs（特别是随机反应-扩散方程）提供具有量化收敛速率的全离散逼近格式。
• 将显式格式的收敛理论从有限维SODEs扩展到具有非全局Lipschitz非线性的无限维SPDEs。

提出的方法

• 提出一种非线性项截断的指数Euler格式，根据当前近似值的大小对非线性项进行截断，以防止解的爆破。
• 采用Bootstrap型论证，推导出截断格式的强化先验矩界，确保其稳定性。
• 通过分析截断格式与其半线性对应格式之间的差异，建立强时间误差估计。
• 对截断格式应用空间谱Galerkin半离散化，并推导出空间方向的收敛速率。
• 通过有限维Wiener过程对噪声进行离散化，并推导出全空间-时间-噪声离散格式的收敛速率。
• 利用插值空间和解过程的正则性估计，控制收敛分析中的误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 显式且易于实现的数值格式能否在非全局Lipschitz连续非线性的半线性SPDEs中实现强收敛？
• RQ2 在全局单调但非全局Lipschitz的非线性条件下，此类显式格式可达到的最优强收敛速率是多少？
• RQ3 如何对截断格式的先验矩界进行强化，以确保在超线性增长情况下的收敛性？
• RQ4 空间离散化和噪声离散化对全离散格式整体收敛速率有何影响？
• RQ5 所提出的格式能否应用于具有多项式非线性的随机反应-扩散方程？

主要发现

• 所提出的非线性项截断的指数Euler格式在所有p ∈ [2, ∞)的Lp范数下实现了强收敛。
• 该格式的强收敛速率可达η阶，其中η ∈ [γ, 1/2)，γ为初始数据的正则性参数。
• 对于全离散格式，其在Lp范数下的收敛速率为O(N^{-η} + n^{-2η} + m^{-2η})，其中N为时间步长，n为空间Galerkin维数，m为噪声截断水平。
• 在适当的正则性假设下，通过选择接近1/2的η，可使收敛速率任意接近1/2阶。
• 该方法是首个在具有非全局Lipschitz非线性的SPDEs中实现强收敛速率的显式全离散格式。
• 分析结果证实，该格式在具有三次非线性和乘性噪声的随机反应-扩散方程中具有稳定性和收敛性。