[论文解读] Strong convergence rates for nonlinearity-truncated Euler-type approximations of stochastic Ginzburg-Landau equations

S. Becker, Arnulf Jentzen|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 28被引用 60

一句话总结

本文提出了针对由时空白噪声驱动的随机Ginzburg-Landau方程的非线性截断欧拉型格式，该情形此前尚未有强收敛结果。通过新颖的路径样本误差估计与抽象巴拿赫空间和希尔伯特空间中的先验界，本文建立了指数型与线性隐式欧拉型格式的近乎最优强收敛速率。

ABSTRACT

This article proposes and analyzes explicit and easily implementable temporal numerical approximation schemes for additive noise-driven stochastic partial differential equations (SPDEs) with polynomial nonlinearities such as, e.g., stochastic Ginzburg-Landau equations. We prove essentially sharp strong convergence rates for the considered approximation schemes. Our analysis is carried out for abstract stochastic evolution equations on separable Banach and Hilbert spaces including the above mentioned SPDEs as special cases. We also illustrate our strong convergence rate results by means of a numerical simulation in Matlab.

研究动机与目标

• 解决具有超线性增长非线性的时空白噪声驱动SPDE中显式格式缺乏强收敛结果的问题。
• 通过建立在具有挑战性的时空白噪声情形下显式且易于实现的格式的强收敛性，弥补现有文献中的空白。
• 为应用于随机Ginzburg-Landau方程的非线性截断指数型与线性隐式欧拉格式提供近乎最优的强收敛速率。
• 将收敛性分析推广至可分巴拿赫空间与希尔伯特空间上的抽象随机演化方程，SPDE作为特例包含在内。
• 通过Matlab中的数值模拟验证理论结果，实证支持收敛速率。

提出的方法

• 引入一种非线性截断机制，限制数值格式中非线性项的增长，以防止发散。
• 提出两种显式格式：非线性截断指数欧拉格式与非线性截断线性隐式欧拉格式。
• 应用变分与Bootstrap方法，推导精确解与数值解在适当函数空间中的先验界。
• 建立精确解与其半线性积分形式之间的路径样本误差估计，以及数值近似与其半线性积分形式之间的误差估计。
• 利用三角不等式与矩估计，控制精确解与数值解之间总误差的上界。
• 利用半群性质与算子范数估计，控制误差在时间区间上的演化。

实验结果

研究问题

• RQ1 显式且易于实现的数值格式能否在时空白噪声驱动的随机Ginzburg-Landau方程中实现强收敛？
• RQ2 在此设定下，非线性截断欧拉型格式可达到的最优强收敛速率为何？
• RQ3 变分与Bootstrap方法如何有助于为具有超线性非线性的SPDE解推导出精确的先验界？
• RQ4 所提出的截断策略能否有效抑制非线性项的超线性增长，以确保强收敛？
• RQ5 截断阈值对数值格式的收敛速率与稳定性有何影响？

主要发现

• 本文为应用于具有时空白噪声的随机Ginzburg-Landau方程的非线性截断指数欧拉格式建立了近乎最优的强收敛速率。
• 对于非线性截断指数欧拉格式，当初始数据的矩满足适当条件时，在所有 $ p \in (0, \infty) $ 的 $ L^p $-范数下，收敛速率为 $ M^{-\theta} $，其中任意 $ \theta \in [0, \frac{1}{4}) $。
• 对于非线性截断线性隐式欧拉格式，收敛速率为 $ M^{-\min(\vartheta\chi, \theta)} $，其中 $ \theta \in [0, \frac{1}{4}) $，$ \vartheta > 0 $，$ \chi \in (0, \frac{1}{2n}] $，且 $ p \geq 2 $，在合适的初始数据正则性条件下成立。
• 收敛结果在如下意义下是紧的：在给定假设下，指数 $ \frac{1}{4} $ 无法进一步改进，误差传播分析已证实此点。
• 通过Matlab中的数值模拟验证了理论收敛速率，结果与预测速率一致。
• 该分析适用于可分巴拿赫空间与希尔伯特空间上的广义抽象随机演化方程，SPDE（如随机Ginzburg-Landau方程）作为特例包含在内。