[论文解读] Strong convergence rates of semi-discrete splitting approximations for stochastic Allen--Cahn equation

Charles-Édouard Bréhier, Jianbo Cui+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用 9

一句话总结

该论文提出了一种半隐式分裂格式，结合指数欧拉积分与变分方法，用于求解维度 $d \leq 3$ 下带有加性噪声的随机Allen-Cahn方程。该方法建立了最优强收敛速率：在 $d=1$ 时对时空白噪声为 $\mathcal{O}(\delta t^{1/4})$，在空间平滑噪声下为 $\mathcal{O}(\delta t)$，利用单调性与指数矩估计实现。

ABSTRACT

This article analyzes an explicit temporal splitting numerical scheme for the stochastic Allen-Cahn equation driven by additive noise, in a bounded spatial domain with smooth boundary in dimension $d\le 3$. The splitting strategy is combined with an exponential Euler scheme of an auxiliary problem. When $d=1$ and the driving noise is a space-time white noise, we first show some a priori estimates of this splitting scheme. Using the monotonicity of the drift nonlinearity, we then prove that under very mild assumptions on the initial data, this scheme achieves the optimal strong convergence rate $\OO(δt^{\frac 14})$. When $d\le 3$ and the driving noise possesses some regularity in space, we study exponential integrability properties of the exact and numerical solutions. Finally, in dimension $d=1$, these properties are used to prove that the splitting scheme has a strong convergence rate $\OO(δt)$.

研究动机与目标

• 推导适用于非全局Lipschitz漂移 $F(x) = x - x^3$ 的随机Allen-Cahn方程的时序分裂格式的最优强收敛速率。
• 解决具有非Lipschitz系数的SPDEs的强收敛速率这一开放问题，特别是在随机相场模型的背景下。
• 在初始数据假设最小化且针对不同噪声类型（包括时空白噪声与空间平滑噪声）下建立收敛性。
• 证明精确解与数值解的指数矩性质，从而通过随机分析与Gronwall型估计实现精确误差控制。
• 通过证明在 $d=1$ 时空白噪声下强收敛速率为 $\mathcal{O}(\delta t^{1/4})$，解决先前工作中遗留的一个开放问题。

提出的方法

• 通过将动力学分解为线性和非线性子步骤，构造半隐式分裂格式：$Y_n = \Phi_{\delta t}(X_n)$，$X_{n+1} = S_{\delta t} Y_n + \int_{t_n}^{t_{n+1}} S(t_{n+1}-s) dW^Q(s)$，其中 $\Phi_{\delta t}$ 为非线性常微分方程 $dX = F(X)dt$ 的相流。
• 将该格式重表述为对带有修正非线性项 $\Psi_{\delta t}$ 的辅助问题应用指数欧拉方法，从而实现稳定性和收敛性分析。
• 采用变分方法推导先验估计，利用漂移项 $F(x) = x - x^3$ 的单调性控制非线性增长。
• 通过 $\mathbb{H}^1$ 与 $\mathbb{H}^2$ 空间中的矩估计，结合随机卷积估计与Sobolev嵌入，建立精确解与数值解的指数矩性质。
• 利用离散Gronwall不等式、Hölder不等式与Young不等式，结合涉及 $\|X(s)\|_{\mathbb{H}^1}$ 与 $\|Z^N(s)\|_{\mathbb{H}^1}$ 的矩估计，推导强收敛速率。
• 在 $d=1$ 且为时空白噪声时，于较弱初始数据假设下证明收敛速率 $\mathcal{O}(\delta t^{1/4})$；在空间平滑噪声下，通过更强的可积性与正则性，实现 $\mathcal{O}(\delta t)$ 的收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $d=1$ 时，针对带有时空白噪声的随机Allen-Cahn方程，半隐式分裂格式的最优强收敛速率是多少？
• RQ2 在噪声具有适当正则性时，该分裂格式能否实现高于 $\mathcal{O}(\delta t^{1/2})$ 的收敛速率？
• RQ3 精确解与数值解的指数矩性质如何在非Lipschitz SPDEs 中促进误差估计？
• RQ4 当漂移项非全局Lipschitz时，该格式是否可在无需截断或稳定化的情况下保持强收敛？
• RQ5 漂移项 $F(x) = x - x^3$ 的单调性在实现此类SPDEs最优收敛速率中起到何种作用？

主要发现

• 在 $d=1$ 且为时空白噪声时，该分裂格式在初始数据假设最小（包括 $X_0 \in \mathbb{H}^2$）下，达到最优强收敛速率 $\mathcal{O}(\delta t^{1/4})$。
• 在空间平滑噪声且 $\|(-A)^{1/2}Q\|_{\mathcal{L}_2^0} < \infty$ 的条件下，该格式在任意 $p \geq 1$ 的 $L^p(\Omega)$-范数下实现改进的强收敛速率 $\mathcal{O}(\delta t)$。
• 证明依赖于变分方法的创新应用与解及数值格式的指数矩性质，从而通过矩估计控制非线性项。
• 作者建立了解与数值逼近的 $L^6$ 与 $L^{12}$ 矩估计，这对离散Gronwall论证中误差项的有界性至关重要。
• 该格式为显式且无条件稳定，无需截断或稳定化处理，且在无先前速率估计的前提下被证明为强收敛。
• 该结果解决了文献[4]中关于随机Allen-Cahn方程在时空白噪声下分裂格式强收敛速率的开放问题。