[论文解读] Strong convergence theorems for strongly relatively nonexpansive sequences and applications

Koji Aoyama, Yasunori Kimura+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2012

Optimization and Variational Analysis参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文在光滑、一致凸的巴拿赫空间中建立了强相对非扩张序列的强收敛定理，证明了在参数假设最小化的条件下收敛性。关键结果表明，即使不需正则化参数发散，通过共轭映射和预解式定义的迭代序列仍可强收敛于极大单调算子的零点或相对非扩张映射的不动点。

ABSTRACT

The aim of this paper is to establish strong convergence theorems for a strongly relatively nonexpansive sequence in a smooth and uniformly convex Banach space. Then we employ our results to approximate solutions of the zero point problem for a maximal monotone operator and the fixed point problem for a relatively nonexpansive mapping.

研究动机与目标

• 在光滑、一致凸的巴拿赫空间中建立强相对非扩张序列的强收敛定理。
• 解决一个开放问题：当 $ r_n \not\to \infty $ 时，迭代序列是否仍能强收敛，此前该问题尚不清楚。
• 将主要收敛结果应用于求解极大单调算子的零点问题和相对非扩张映射的不动点问题。
• 通过放宽对参数 $ r_n $ 和 $ \alpha_n $ 的假设，同时保持强收敛性，推广现有收敛结果。

提出的方法

• 在光滑、一致凸巴拿赫空间的背景下，引入并分析强相对非扩张序列的概念。
• 利用共轭映射 $ J $ 及其逆 $ J^{-1} $，通过预解式 $ (J + r_n A)^{-1}J $ 定义涉及极大单调算子 $ A $ 的迭代序列。
• 应用 Maingé (2008) 的引理 3.2 作为基本工具，通过由 $ \phi(x,y) = \|x\|^2 - 2\langle x, Jy \rangle + \|y\|^2 $ 定义的 $ \phi $-函数控制序列行为。
• 建立序列的条件 (Z)：若 $ x_n - S_n x_n \to 0 $，则 $ \{x_n\} $ 的每个弱聚点属于公共不动点集。
• 证明当 $ T $ 为相对非扩张映射时，由 $ S_n = J^{-1}(\beta_n J + (1 - \beta_n) J T) $ 定义的序列 $ \{S_n\} $ 是强相对非扩张的。
• 利用一致光滑且一致凸空间中 $ x_n - y_n \to 0 \Leftrightarrow Jx_n - Jy_n \to 0 \Leftrightarrow \phi(x_n, y_n) \to 0 $ 的等价性，分析收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，迭代序列 $ x_{n+1} = J^{-1}\left( \frac{1}{n}Jx + \left(1 - \frac{1}{n}\right)J(J + r_n A)^{-1}Jx_n \right) $ 即使 $ r_n \not\to \infty $，也能强收敛于极大单调算子 $ A $ 的零点？
• RQ2 对于一组映射 $ \{S_n\} $，若其非一致非扩张但为强相对非扩张，是否可保证强收敛？
• RQ3 当参数满足 $ \alpha_n \to 0 $，$ \sum \alpha_n = \infty $，且 $ \beta_n $ 有正下界时，相对非扩张映射的收敛结果是否仍成立？
• RQ4 何种条件可确保通过共轭映射与凸组合定义的序列 $ \{x_n\} $ 强收敛于解集中的最近点？
• RQ5 收敛定理是否可推广至正则化参数 $ r_n $ 有正下界而非发散的情形？

主要发现

• 定理 4.1 在参数条件较弱的假设下，建立了在光滑、一致凸巴拿赫空间中由强相对非扩张序列生成的迭代序列的强收敛性。
• 定理 5.2 证明了序列 $ \{x_n\} $ 定义为 $ x_{n+1} = J^{-1}(\alpha_n Ju + (1 - \alpha_n)JL_{r_n}x_n) $ 强收敛于 $ Q_{A^{-1}0}(u) $，即使 $ r_n $ 有正下界，且 $ \alpha_n \to 0 $，$ \sum \alpha_n = \infty $。
• 当 $ T $ 为相对非扩张映射且 $ \beta_n \in (0,1) $ 满足 $ \liminf \beta_n > 0 $ 时，由 $ S_n = J^{-1}(\beta_n J + (1 - \beta_n) J T) $ 定义的序列 $ \{S_n\} $ 被证明为强相对非扩张。
• 条件 (Z) 在 $ \{S_n\} $ 上得到验证：若 $ x_n - S_n x_n \to 0 $，则 $ \{x_n\} $ 的每个弱聚点属于 $ F(T) $，这对收敛性至关重要。
• 定理 5.5 的收敛结果在与 [Nilsrakoo-Saejung] 相同的假设下成立，但本文通过强相对非扩张序列的一般框架，进一步证明了收敛性。
• 本文解决了关于强收敛是否在 $ r_n \to \infty $ 不成立时仍成立的开放问题，定理 5.2 和注记 5.3 明确肯定了该问题。