[论文解读] Strong converse rates and an example of violation of the strong converse property

Nilanjana Datta, Min-Hsiu Hsieh+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2011

Wireless Communication Security Techniques被引用 4

一句话总结

本文利用平滑最大相对熵，建立了量子假设计数和量子信道上传输经典信息的紧致界，恢复了独立同分布情形下的直接定理与强 converse 定理。它证明了相对熵版本的量子渐近均分性质（QAEP）的 $\boldsymbol{b}$-无关形式，实现了精确的收敛速率，并揭示了一个强 converse 性质不成立的情形。

ABSTRACT

We use the smooth entropy approach to treat the problems of binary quantum hypothesis testing and the transmission of classical information through a quantum channel. We provide lower and upper bounds on the optimal type II error of quantum hypothesis testing in terms of the smooth max-relative entropy of the two states representing the two hypotheses. Using then a relative entropy version of the Quantum Asymptotic Equipartition Property (QAEP), we can recover the strong converse rate of the i.i.d. hypothesis testing problem in the asymptotics. On the other hand, combining Stein's lemma with our bounds, we obtain a stronger ($\ep$-independent) version of the relative entropy-QAEP. Similarly, we provide bounds on the one-shot $\ep$-error classical capacity of a quantum channel in terms of a smooth max-relative entropy variant of its Holevo capacity. Using these bounds and the $\ep$-independent version of the relative entropy-QAEP, we can recover both the Holevo-Schumacher-Westmoreland theorem about the optimal direct rate of a memoryless quantum channel with product state encoding, as well as its strong converse counterpart.

研究动机与目标

• 利用平滑最大相对熵，建立量子假设计数的紧致单次界。
• 通过相对熵版本的量子渐近均分性质（QAEP），推导独立同分布量子假设计数的强 converse 率。
• 利用平滑最大相对熵形式的霍尔沃容量，界定量子信道的单次 $\boldsymbol{b}$-误差经典容量。
• 利用所提出的界与 $\boldsymbol{b}$-无关 QAEP，恢复记忆无迹量子信道在产品态编码下的霍尔沃-舒马赫-韦斯莫兰定理及其强 converse 对应定理。

提出的方法

• 利用平滑最大相对熵来界定二元量子假设计数中的第二类错误。
• 应用相对熵版本的量子渐近均分性质（QAEP）以推导渐近收敛速率。
• 结合 Stein 引理，建立相对熵-QAEP 的 $\boldsymbol{b}$-无关形式。
• 将界与 $\boldsymbol{b}$-无关 QAEP 结合，恢复无记忆量子信道在产品态编码下的直接定理与强 converse 定理。
• 利用霍尔沃容量的平滑最大相对熵变体，界定量子信道的单次 $\boldsymbol{b}$-误差容量。
• 识别出强 converse 性质失效的具体例子，证明所推导界的紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 平滑最大相对熵能否为量子假设计数及量子信道上的经典通信提供紧致的单次界？
• RQ2 独立同分布量子假设计数的强 converse 率为何？能否通过平滑熵方法推导得出？
• RQ3 是否存在相对熵-QAEP 的 $\boldsymbol{b}$-无关形式？它如何加强现有渐近结果的联系？
• RQ4 能否利用所提出的界与 QAEP 变体，恢复霍尔沃-舒马赫-韦斯莫兰定理及其强 converse 对应定理？
• RQ5 是否存在强 converse 性质失效的情形？这对所推导界之紧致性有何启示？

主要发现

• 本文利用平滑最大相对熵，建立了量子假设计数中第二类错误的单次界，建立了错误概率与信息论量之间的定量联系。
• 通过相对熵版本的 QAEP，在渐近极限下恢复了独立同分布量子假设计数的强 converse 率。
• 推导出相对熵-QAEP 的 $\boldsymbol{b}$-无关形式，加强了相对熵与量子系统渐近典型性之间的联系。
• 利用平滑最大相对熵形式的霍尔沃容量，界定了量子信道的单次 $\boldsymbol{b}$-误差经典容量。
• 利用所提出的界与 $\boldsymbol{b}$-无关 QAEP，恢复了霍尔沃-舒马赫-韦斯莫兰定理及其强 converse 对应定理。
• 识别出一个强 converse 性质失效的具体例子，证明了所推导界的紧致性，表明强 converse 并非总是成立。