[论文解读] Strong cosmic censorship in spherical symmetry for two-ended asymptotically flat initial data I. The interior of the black hole region

Jonathan Luk, Sung‐Jin Oh|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2017

Cosmology and Gravitation Theories被引用 9

一句话总结

本文證明了在球對稱且具有雙端漸近平坦初始資料的愛因斯坦-馬克希瓦-（實）標量場系統中，強宇宙觀測猜測的 $C^2$-形式。在事件視界上對標量場施加 $L^2$-平均多項式下界條件下，本文建立了時空的 $C^2$-未來不可延拓性，利用黑洞內部的穩定與不穩定估計，推廣了先前需更強點態下界條件的研究結果。

ABSTRACT

This is the first and main paper of a two-part series, in which we prove the $C^{2}$-formulation of the strong cosmic censorship conjecture for the Einstein-Maxwell-(real)-scalar-field system in spherical symmetry for two-ended asymptotically flat data. For this model, it is known through the works of Dafermos and Dafermos-Rodnianski that the maximal globally hyperbolic future development of any admissible two-ended asymptotically flat Cauchy initial data set possesses a non-empty Cauchy horizon, across which the spacetime is $C^{0}$-future-extendible (in particular, the $C^{0}$-formulation of the strong cosmic censorship conjecture is false). Nevertheless, the main conclusion of the present series of papers is that for a generic (in the sense of being open and dense relative to appropriate topologies) class of such data, the spacetime is future-inextendible with a Lorentzian metric of higher regularity (specifically, $C^{2}$). In this paper, we prove that the solution is $C^{2}$-future-inextendible under the condition that the scalar field obeys an $L^{2}$-averaged polynomial lower bound along each of the event horizons. This, in particular, improves upon a previous result of Dafermos, which required instead a pointwise lower bound. Key to the proof are appropriate stability and instability results in the interior of the black hole region, whose proofs are in turn based on ideas from the work of Dafermos-Luk on the stability of the Kerr Cauchy horizon (without symmetry) and from our previous paper on linear instability of Reissner-Nordstr\\"om Cauchy horizon. In the second paper of the series (arXiv:1702.05716), which concerns analysis in the exterior of the black hole region, we show that the $L^2$-averaged polynomial lower bound needed for the instability result indeed holds for a generic class of admissible two-ended asymptotically flat Cauchy initial data.

研究动机与目标

• 建立愛因斯坦-馬克希瓦-（實）標量場系統在球對稱下的 $C^2$-強宇宙觀測猜測形式。
• 證明典型雙端漸近平坦初始資料會導致 $C^2$-未來不可延拓的時空。
• 將先前對標量場在事件視界上的點態下界條件，替換為較弱的 $L^2$-平均多項式下界條件，以觸發柯西視界不穩定性。
• 展示在 $L^2$-平均條件下柯西視界的不穩定性，導致克里斯托費爾符號在 $L^p$ 中爆破（$p>1$）。

提出的方法

• 在黑洞內部使用 $(u,v)$ 坐標系分析柯西視界的幾何與動力學。
• 在紅移與藍移區域應用穩定性估計，以控制標量場與度規分量的行為。
• 利用整合局部能量衰減估計與紅移估計，推導出標量場導數的界。
• 利用雷查奧德赫里方程，將 $-\frac{\rho}{\rho^2}$ 的增長與標量場的能量密度聯繫起來。
• 透過反證法證明在 $L^2$-平均下界條件下 $\frac{\lambda}{\Omega^2}$ 與克里斯托費爾符號會爆破。
• 依賴達弗莫斯–盧克關於克爾柯西視界穩定性的結果，以及先前對雷士納-諾爾斯特倫不穩定性的研究，建構不穩定性框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有雙端漸近平坦資料的球對稱愛因斯坦-馬克希瓦-（實）標量場系統中，$C^2$-形式的強宇宙觀測猜測是否成立？
• RQ2 在事件視界上對標量場施加 $L^2$-平均多項式下界條件，是否足以觸發柯西視界的不穩定性？
• RQ3 即使時空在 $C^0$ 意義下可延拓，此 $L^2$-平均條件下時空是否仍為 $C^2$-未來不可延拓？
• RQ4 在 $L^2$-平均界條件下，克里斯托費爾符號在柯西視界附近的行為如何？是否導致正則性喪失？
• RQ5 此不穩定機制能否嚴謹地與初始資料空間中此類資料的典型性相連結？

主要发现

• 在事件視界上對標量場施加 $L^2$-平均多項式下界條件下，時空為 $C^2$-未來不可延拓。
• 透過整合能量衰減與紅移估計的反證法，確立了 $\frac{\lambda}{\Omega^2}$ 的爆破。
• 形式為 $(\sigma_{\mathbb{S}^2}^{-1})^{AB}\Gamma^u_{AB}$ 的克里斯托費爾符號在柯西視界附近 $L^p_{\text{loc}}$ 中對所有 $p>1$ 爆破。
• $L^2$-平均下界表示標量場在任何 $C^0$-延拓下均不屬於 $W^{1,2}_{\text{loc}}$。
• 證明確立了在 $L^2$-平均條件下柯西視界的不穩定性，從而確認了 $C^2$-形式的強宇宙觀測猜測。
• 不穩定機制具有魯棒性，可延伸至整個柯西視界，且在 $(u,v)$ 與 $(u,V)$ 坐標系中均確認爆破。