[论文解读] Strong cosmic censorship in spherical symmetry for two-ended asymptotically flat initial data II. The exterior of the black hole region

Jonathan Luk, Sung‐Jin Oh|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2017

Cosmology and Gravitation Theories被引用 8

一句话总结

本文完成了对球对称爱因斯坦-闵可夫斯基-标量场系统强宇宙监督猜想的 $C^2$-形式的两部分证明。它证明了对于一类典型的双端渐近平坦初值，黑洞区域的柯西视界在 $C^2$ 意义下不可未来延拓，从而确认奇点不可延拓，因此宇宙监督猜想在典型情况下成立。

ABSTRACT

This is the second and last paper of a two-part series in which we prove the $C^2$-formulation of the strong cosmic censorship conjecture for the Einstein-Maxwell-(real)-scalar-field system in spherical symmetry for two-ended asymptotically flat data. In the first paper (arXiv:1702.05715), we showed that the maximal globally hyperbolic future development of an admissible asymptotically flat Cauchy initial data set is $C^2$-future-inextendible provided that an $L^2$-averaged (inverse) polynomial lower bound for the derivative of the scalar field holds along each horizon. In this paper, we show that this lower bound is indeed satisfied for solutions arising from a generic set of Cauchy initial data. Roughly speaking, the generic set is open with respect to a (weighted) $C^1$ topology and is dense with respect to a (weighted) $C^\infty$ topology. The proof of the theorem is based on extensions of the ideas in our previous work on the linear instability of Reissner-Nordström Cauchy horizon, as well as a new large data asymptotic stability result which gives good decay estimates for the difference of the radiation fields for small perturbations of an arbitrary solution.

研究动机与目标

• 完成爱因斯坦-闵可夫斯基-（实）标量场系统在球对称情形下强宇宙监督猜想的 $C^2$-形式的证明。
• 证明在初值的典型集合上，柯西视界上标量场导数的 $L^2$-平均（逆）多项式下界成立。
• 在该典型条件下，证明最大全局双曲未来发展在 $C^2$ 意义下不可未来延拓。
• 将雷茨纳-诺斯特伦时空的线性不稳定性结果推广至一大类非线性解。
• 证明关于辐射场在任意解的小扰动下的大初值渐近稳定性新结果。

提出的方法

• 利用合作者论文（arXiv:1702.05715）建立的框架，该框架将 $C^2$-不可延拓性与柯西视界上标量场导数的 $L^2$-平均的下界联系起来。
• 采用一种新颖的大初值渐近稳定性定理，研究该类解任意小扰动下标量场辐射场的行为。
• 将雷茨纳-诺斯特伦柯西视界线性不稳定性分析的技术应用于非线性情形，将其推广至典型初值。
• 使用加权 $C^1$ 和 $C^\tau$ 拓扑定义初值的典型集合，证明其在 $C^1$ 拓扑下为开集，在 $C^\tau$ 拓扑下为稠密集，其中 $\tau > 1$。
• 利用能量估计和辐射场的衰减性质，分析柯西视界附近标量场及其导数的行为。
• 将渐近稳定性结果与典型性论证相结合，证明在典型初值集合上，标量场导数所需的下界成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 柯西视界上标量场导数的 $L^2$-平均（逆）多项式下界是否对典型双端渐近平坦初值集合成立？
• RQ2 在该下界条件下，此类初值的最大全局双曲未来发展是否在 $C^2$ 意义下不可未来延拓？
• RQ3 雷茨纳-诺斯特伦柯西视界的线性不稳定性机制能否推广至球对称情形下的非线性、大初值解？
• RQ4 在爱因斯坦-闵可夫斯基-标量场系统中，任意解的小扰动下辐射场的渐近行为如何？
• RQ5 在 $C^2$ 意义下强宇宙监督成立的初值集合有多大？其典型性由何种拓扑刻画？

主要发现

• 柯西视界上标量场导数的 $L^2$-平均（逆）多项式下界在加权 $C^1$ 拓扑下为开集的初值集合上成立。
• 该典型集合在任意 $\tau > 1$ 的加权 $C^\tau$ 拓扑下也是稠密集，表明其具有广泛适用性。
• 此类初值的最大全局双曲未来发展在 $C^2$ 意义下不可未来延拓，从而确认了强宇宙监督的 $C^2$-形式。
• 建立了一个新的大初值渐近稳定性结果，表明任意解的小扰动会导致辐射场以一致估计方式衰减。
• 证明将雷茨纳-诺斯特伦柯西视界的线性不稳定性扩展至非线性区域，确立了不可延拓性的稳健机制。
• 上述结果适用于具有双端渐近平坦初值的球对称爱因斯坦-闵可夫斯基-（实）标量场系统。