[论文解读] Strong Error Estimates for a Space-Time Discretization of the Linear-Quadratic Control Problem with the Stochastic Heat Equation with Linear Noise

Andreas Prohl, Yanqing Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对由线性乘性噪声驱动的随机热方程所 governing 的线性-二次最优控制问题的空间-时间有限元离散化方法。通过利用随机Riccati方程建立h-无关稳定性，证明了在空间和时间上均达到最优收敛速率，首次在具有线性噪声的设定下实现了强误差估计，扩展了以往仅限于加性噪声的研究。

ABSTRACT

We propose a time-implicit, finite-element based space-time discretization of the necessary and sufficient optimality conditions for the stochastic linear-quadratic optimal control problem with the stochastic heat equation driven by linear noise of type $[X(t)+σ(t)]dW(t)$, and prove optimal convergence w.r.t. both, space and time discretization parameters. In particular, we employ the stochastic Riccati equation as a proper analytical tool to handle the linear noise, and thus extend the applicability of the earlier work [16], where the error analysis was restricted to additive noise.

研究动机与目标

• 为求解由线性乘性噪声驱动的随机热方程所 governing 的随机线性-二次最优控制问题，提出一种数值方法。
• 将先前仅限于加性噪声的强误差估计扩展至更复杂的线性噪声情形。
• 利用随机Riccati方程作为关键分析工具，为离散最优性系统建立h-无关稳定性。
• 证明完全离散格式在空间和时间离散化参数上的最优收敛速率。
• 设计并分析一种解耦的梯度下降算法，以高效求解完全离散问题。

提出的方法

• 针对随机控制问题的必要与充分最优性条件，提出一种时间隐式、基于有限元的空间-时间离散化方法。
• 利用随机Riccati方程，推导出半离散最优性系统解四元组 (X_h^*, Y_h, Z_h, U_h^*) 的h-无关稳定性估计。
• 采用修正的隐式Euler格式进行时间离散化，以考虑后向随机PDE中漂移项对Z_h的依赖性。
• 将完全离散问题重新表述为最小化问题，以支持解耦梯度下降法的高效计算。
• 利用离散Gronwall不等式及对 (1 - τΔ_h) 逆算子的有界性，推导出Lipschitz连续性和强误差估计。
• 收敛性分析依赖于对Z_h的时间变差边界的验证，例如 𝔼[‖Z_h(t) - Z_h(s)‖²] ≤ C|t - s|，且对所有h一致成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有线性乘性噪声的随机线性-二次控制问题的空间-时间离散化建立最优强误差估计？
• RQ2 当Z_h出现在后向SDE的漂移项中时，如何为离散最优性系统实现h-无关稳定性？
• RQ3 随机Riccati方程在实现线性噪声情形误差分析中起到何种作用？
• RQ4 能否有效应用解耦梯度下降法求解完全离散问题，以降低计算成本？
• RQ5 在存在线性噪声的情况下，状态、伴随和控制变量的收敛速率是多少？

主要发现

• 本文建立了具有线性噪声的随机线性-二次控制问题空间-时间离散化的最优收敛速率，证明了在空间和时间上的强误差估计。
• 随机Riccati方程使得对解四元组 (X_h^*, Y_h, Z_h, U_h^*) 的h-无关稳定性估计成为可能，而此前仅限于加性噪声的方法无法实现这一点。
• 推导出一个关键估计：对所有 t, s ∈ [0, T]，有 𝔼[‖Z_h(t) - Z_h(s)‖²] ≤ C|t - s|，其中C与h无关，确保了Z_h的时间正则性。
• 完全离散问题的梯度下降算法线性收敛，误差按 (1 - 1/κ)^ℓ 的速率递减，其中ℓ为迭代次数。
• 状态误差和梯度误差被有界为 C(1 - 1/κ)^ℓ‖U_h^τ(0) - U^*_hτ‖²，表明在迭代次数上呈指数收敛。
• 收敛速率在空间和时间离散化参数方面均为最优，将先前针对加性噪声的结果推广至线性乘性噪声情形。