[论文解读] Strong existence and uniqueness for stochastic differential equation with H{ö}lder drift and degenerate noise

Paul-Éric Chaudru de Raynal|arXiv (Cornell University)|May 30, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 22

一句话总结

本文建立了具有 Hölder 连续漂移系数的退化随机微分方程的强存在性与路径唯一性，证明了 Hölder 指数大于 $2/3$ 可确保适定性。证明依赖于参数化方法及退化偏微分方程的正则化性质，通过 Hölder 正则性与漂移系数导数结构的非退化性来平衡退化噪声，将经典结果推广至退化噪声情形。

ABSTRACT

In this paper, we prove pathwise uniqueness for stochastic degenerate systems with a H{ö}lder drift, for a H{ö}lder exponent larger than the critical value 2/3. This work extends to the degenerate setting the earlier results obtained by Zvonkin, Veretennikov, Krylov and R{ö}ckner from non-degenerate to degenerate cases. The existence of a threshold for the H{ö}lder exponent in the degenerate case may be understood as the price to pay to balance the degeneracy of the noise. Our proof relies on regularization properties of the associated PDE, which is degenerate in the current framework and is based on a parametrix method.

研究动机与目标

• 建立具有不规则漂移系数的退化 SDE 的强存在性与路径唯一性。
• 将经典 SDE 适定性结果从非退化扩散情形推广至退化扩散情形。
• 确定平衡噪声退化性的漂移正则性临界 Hölder 指数。
• 发展一种基于 PDE 的方法，利用参数化方法处理扩散结构中的退化性。

提出的方法

• 使用参数化构造来逼近 SDE 解的转移密度。
• 对相关的退化 Fokker-Planck 方程应用正则化估计，以控制解的正则性。
• 将解分解为光滑部分与奇异部分，以分析对角线附近的性质。
• 对漂移施加 Hölder 连续性，指数 >2/3，以确保噪声提供足够的平滑性。
• 依赖于通过 PDE 估计导出的解及其在退化变量上的导数的先验界。
• 使用循环论证，以闭合解关于退化分量的导数的 Hölder 正则性估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 为确保退化 SDE 中的强唯一性，漂移所需的最小 Hölder 正则性是什么？
• RQ2 噪声的退化性如何影响不规则漂移系数的正则化？
• RQ3 参数化方法能否被调整以处理具有 Hölder 漂移的退化扩散？
• RQ4 漂移在非退化方向上的导数的非退化性在正则性传播中起什么作用？
• RQ5 在退化情形下是否存在 Hölder 指数的精确阈值，其与非退化情形相比如何？

主要发现

• 对于具有 Hölder 连续指数大于 $2/3$ 的漂移系数的退化 SDE，路径唯一性成立。
• 临界指数 $2/3$ 作为噪声退化性与漂移正则性之间平衡的结果而出现。
• 在漂移的 Hölder 连续性与扩散系数的 Lipschitz 连续性下，建立了强存在性与唯一性。
• 证明了解关于退化分量的导数为 Hölder 连续，且其估计具有与 Hölder 指数相关的定量形式。
• 通过 PDE 正则化技术，导出了关于解及其在退化变量上的导数的先验界。
• 证明依赖于参数化方法在退化 PDE 上的创新应用，得到了转移密度及其导数的精确 Hölder 估计。