[论文解读] Strong form mesh-free $hp$-adaptive solution of linear elasticity problem

Mitja Jančič, Gregor Kosec|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2022

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种基于径向基函数生成的有限差分法（RBF-FD）的无网格hp自适应数值方法，采用创新的隐式-显式（IMEX）误差指示器，用于求解线性弹性力学问题。该方法通过迭代求解、利用局部高阶重评估估算误差、采用改进的德克萨斯三步法标记需加密的节点，并重新定位节点与调整近似阶次，从而在2D和3D接触问题中实现了优于非自适应方法的收敛性和精度。

ABSTRACT

We present an algorithm for $hp$-adaptive collocation-based mesh-free numerical analysis of partial differential equations. Our solution procedure follows a well-established iterative solve-estimate-mark-refine paradigm. The solve phase relies on the Radial Basis Function-generated Finite Differences (RBF-FD) using point clouds generated by advancing front node positioning algorithm that supports variable node density. In the estimate phase, we introduce an Implicit-Explicit (IMEX) error indicator, which assumes that the error relates to the difference between the implicitly obtained solution (from the solve phase) and a local explicit re-evaluation of the PDE at hand using a higher order approximation. Based on the IMEX error indicator, the modified Texas Three Step marking strategy is used to mark the computational nodes for $h$-, $p$- or $hp$-(de-)refinement. Finally, in the refine phase, nodes are repositioned and the order of the method is locally redefined using the variable order of the augmenting monomials according to the instructions from the mark phase. The performance of the introduced $hp$-adaptive method is first investigated on a two-dimensional Peak problem and further applied to two- and three-dimensional contact problems. We show that the proposed IMEX error indicator adequately captures the global behaviour of the error in all cases considered and that the proposed $hp$-adaptive solution procedure significantly outperforms the non-adaptive approach. The proposed $hp$-adaptive method stands for another important step towards a fully autonomous numerical method capable of solving complex problems in realistic geometries without the user intervention.

研究动机与目标

• 开发一种完全自动化的无网格hp自适应数值方法，用于求解真实几何形状中的复杂线性弹性力学问题。
• 通过利用散乱节点点云和自适应加密策略，消除用户在网格生成与加密中的干预。
• 通过结合h-加密（节点重定位）和p-加密（可变近似阶次）提高解的精度和收敛效率。
• 在基准问题上验证所提方法，包括无解析解的3D微动疲劳接触问题和Peak问题。
• 提出并评估一种基于IMEX的新型误差指示器，可有效捕捉高梯度和奇异性区域的全局误差行为。

提出的方法

• 该方法采用求解-估算-标记-加密的迭代范式，基于由推进前沿节点定位算法生成的、具有可变节点密度的点云进行RBF-FD计算。
• 求解阶段使用RBF-FD方法，采用多二次基函数和可变带宽大小，以强形式近似偏微分算子。
• 估算阶段引入IMEX误差指示器，通过计算隐式求解解与局部显式高阶重评估PDE之间的差异来实现。
• 标记阶段采用改进的德克萨斯三步法，根据IMEX误差指示器对节点进行h-、p-或hp-加密的分类。
• 加密阶段利用推进前沿算法重新定位节点，并根据标记决策通过增加单项式来局部调整近似阶次。
• 该方法在统一框架下支持h-加密（节点增删）和p-加密（阶次提升），实现无需网格拓扑的hp自适应。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于IMEX的误差指示器是否能有效捕捉无网格RBF-FD求解线性弹性力学问题时的全局误差行为？
• RQ2 所提出的hp自适应框架是否显著优于非自适应RBF-FD方法，提升收敛速率和精度？
• RQ3 该方法在具有奇异性或局部应力集中（如接触问题）的问题中表现如何？
• RQ4 该方法是否能在无用户定义网格或手动加密的情况下，实现复杂3D几何形状中的高精度求解？
• RQ5 可变节点密度与可变近似阶次的结合是否能有效解析陡峭梯度和边界层？

主要发现

• IMEX误差指示器在所有测试案例中均成功捕捉了全局误差行为，包括2D的Peak问题和3D的微动疲劳接触问题。
• 所提出的hp自适应方法在高应力梯度和奇异性区域显著优于非自适应RBF-FD，实现了更快的收敛速度和更高的精度。
• 在微动疲劳接触问题中，该方法以高分辨率解析了0.2067 mm的接触区域（仅为域宽的1/200），展现出对微小特征建模的能力。
• 该方法在早期迭代中自动提高了奇异性附近的近似阶次，随后通过h-加密改善局部场描述，与自适应加密的文献结论一致。
• 采用可变节点密度与自适应阶次选择，实现了计算资源更高效的分配，降低了整体计算成本。
• 即使在为数值稳定性而移除角点节点的情况下，该方法仍表现出鲁棒性和稳定性，证实了其在真实问题中的实际可行性。