[论文解读] Strong geodetic problem in networks: computational complexity and solution for Apollonian networks

Paul Manuel, Sandi Klavžar+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2017

Evacuation and Crowd Dynamics参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文引入了网络中的强测地问题，定义为寻找最小顶点集合，使得图中所有顶点都位于该集合中某对顶点之间的固定最短路径上。证明了该问题为NP完全问题，并为完全阿波罗尼安网络提供了精确解，表明r层阿波罗尼安网络A(r)的强测地数为3^k。

ABSTRACT

The geodetic problem was introduced by Harary et al. In order to model some social network problems, a similar problem is introduced in this paper and named the strong geodetic problem. The problem is solved for complete Apollonian networks. It is also proved that in general the strong geodetic problem is NP-complete.

研究动机与目标

• 将经典测地问题的更强变体形式化并研究，用于社交网络建模，其中每个顶点必须位于某对协调者之间的固定最短路径上。
• 确定一般图中强测地问题的计算复杂度。
• 为特定图类——完全阿波罗尼安网络——精确求解强测地问题。
• 通过多项式时间归约，建立强测地问题与支配集问题之间的联系。

提出的方法

• 将强测地集定义为图中顶点的子集S，使得图中所有顶点都位于S中某对顶点之间的固定最短路径上。
• 将强测地数sg(G)定义为此类集合的最小大小。
• 利用阿波罗尼安网络的结构特性，包括单纯形顶点和内部对偶图，推导强测地数。
• 通过从给定图G构造修改后的图G̅，建立从支配集问题到强测地问题的多项式时间归约。
• 证明：图G中存在支配集S，当且仅当S ∪ V''构成图G̅中的强测地集。
• 利用阿波罗尼安网络中单纯形顶点必须包含在任何强测地集中这一事实，以简化构造和证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 一般图中强测地问题的计算复杂度是什么？
• RQ2 强测地问题能否在特定图类（如阿波罗尼安网络）中高效求解？
• RQ3 强测地问题与其他图问题（如支配集或等距路径问题）之间是否存在关联？
• RQ4 能否从已知的NP完全问题归约强测地问题，以确立其复杂度？

主要发现

• 通过从支配集问题的多项式时间归约，证明了强测地问题为NP完全问题。
• 对于完全阿波罗尼安网络A(r)，其强测地数恰好为3^k，其中k为网络的层级。
• 完全阿波罗尼安网络A(r)的最小强测地集由所有r层顶点组成，且该集合在通过固定最短路径覆盖所有顶点方面既必要又充分。
• 阿波罗尼安网络中的单纯形顶点必须包含在任何强测地集中，这简化了最小解的表征。
• 从支配集问题到强测地问题的归约保持了解的大小，表明图G中的最小支配集与构造图G̅中的最小强测地集一一对应。
• 尽管已证明为NP完全问题，该问题在若干图类（包括弦图、二分图、网格图和凯莱图）中仍为开放问题。