[论文解读] Strong instability of standing waves for nonlinear Schrödinger equations with a delta potential

Masahito Ohta, Takahiro Yamaguchi|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文建立了在一维非线性薛定谔方程中，具有吸引性狄拉克δ势和$L^2$-超临界非线性的驻波解强不稳定性（有限时间爆破）的充分条件。通过变分方法和尺度变换，证明了若驻波$e^{i\omega t}\phi_\omega$的能量为正，则任意小的$H^1$-范数扰动均会导致有限时间爆破，从而表明当$\omega > \omega_1(p,\gamma)$时存在强不稳定性，其中$\omega_1$由一个非线性特征值方程定义。

ABSTRACT

We study strong instability (instability by blowup) of standing wave solutions for a nonlinear Schrödinger equation with an attractive delta potential and $L^2$-supercritical power nonlinearity in one space dimension. We also compare our sufficient condition on strong instability with some known results on orbital instability.

研究动机与目标

• 分析一维具有吸引性狄拉克δ势的非线性薛定谔方程的驻波解的强不稳定性（爆破）。
• 基于驻波包络的能泛函$E(\phi_\omega)$的符号，建立强不稳定的充分条件。
• 将新的强不稳定充分条件与现有轨道不稳定的判据进行比较，特别是基于$\partial_\omega \|\phi_\omega\|_{L^2}^2$和$\partial_\lambda^2 E(\phi_\omega^\lambda)$在$\lambda=1$处的条件。
• 阐明不同不稳定阈值之间的关系：$\omega_0(p,\gamma)$（轨道不稳定）、$\omega_1(p,\gamma)$（强不稳定）和$\omega_2(p,\gamma)$（基于二阶导数条件的不稳定）。

提出的方法

• 作者将驻波解$e^{i\omega t}\phi_\omega(x)$定义为静止方程$-\partial_x^2\phi + \omega\phi - \gamma\delta(x)\phi - |\phi|^{p-1}\phi = 0$的唯一正解。
• 引入尺度变换$\phi_\omega^\lambda(x) = \lambda^{1/2}\phi_\omega(\lambda x)$，并分析该变换下能量$E(\phi_\omega^\lambda)$和$L^2$-范数的行为。
• 利用$P(\phi_\omega) = 0$的恒等式及$E(\phi_\omega) > 0$的事实，证明当$\lambda > 1$且接近1时，有$E(\phi_\omega^\lambda) < E(\phi_\omega)$且$K_\omega(\phi_\omega^\lambda) < 0$，从而将$\phi_\omega^\lambda$置于导致爆破的集合$\mathcal{B}_\omega$中。
• 应用文献中已知的爆破准则（定理1.6），该准则保证$\mathcal{B}_\omega$中的初值会导致有限时间爆破，并利用尺度变换下$H^1$-范数的连续性，得出强不稳定的结论。
• 该证明依赖于驻波的变分特征，以及当$\lambda > 1$时能量严格递减的性质，后者由导数$\partial_\lambda K_\omega(\phi_\omega^\lambda)\big|_{\lambda=1} < 0$推导而来。
• 将强不稳定的阈值$\omega_1(p,\gamma)$与$\omega_0(p,\gamma)$和$\omega_2(p,\gamma)$进行比较，证明当$p > 5$时有$\omega_0 < \omega_2 < \omega_1$，并讨论该结果对强不稳定是否在$\omega > \omega_2(p,\gamma)$时成立的猜想的含义。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，非线性薛定谔方程中具有狄拉克δ势的驻波解$e^{i\omega t}\phi_\omega$是强不稳定的（即在任意小扰动下导致有限时间爆破）？
• RQ2 强不稳定的充分条件$E(\phi_\omega) > 0$与基于$\partial_\omega \|\phi_\omega\|_{L^2}^2 < 0$的已知轨道不稳定判据相比如何？
• RQ3 通过不同不稳定条件定义的不稳定阈值$\omega_0(p,\gamma)$、$\omega_1(p,\gamma)$和$\omega_2(p,\gamma)$之间有何关系？
• RQ4 鉴于$\omega_2(p,\gamma)$对应于二阶导数爆破准则，是否可以猜想强不稳定在$\omega > \omega_2(p,\gamma)$时成立？

主要发现

• 当$E(\phi_\omega) > 0$时，驻波解$e^{i\omega t}\phi_\omega$是强不稳定的，该条件在$\omega > \omega_1(p,\gamma)$时成立，其中$\omega_1(p,\gamma) = \gamma^2 / (4\xi_1(p)^2)$，且$\xi_1(p)$是特定积分方程的解。
• 当$p > 5$时，强不稳定的阈值$\omega_1(p,\gamma)$满足$\omega_1(p,\gamma) > \omega_2(p,\gamma) > \omega_0(p,\gamma)$，表明即使轨道不稳定性无法通过$\partial_\omega \|\phi_\omega\|_{L^2}^2$判据检测到，强不稳定性仍可能发生。
• $E(\phi_\omega) > 0$是存在一族初值$\phi_\omega^\lambda$（$\lambda \in (1, \lambda_0)$）导致有限时间爆破的必要且充分条件，从而通过变分法确立了强不稳定性。
• 当$p > 5$时，基于能量的准则$E(\phi_\omega) > 0$给出的不稳定阈值强于二阶导数条件$\partial_\lambda^2 E(\phi_\omega^\lambda)\big|_{\lambda=1} < 0$（对应于$\omega > \omega_2(p,\gamma)$）所给出的阈值。
• 数值证据来自[15]中$p=6$，$\gamma=1$，$\omega=4$的情形，支持理论结果，因为$\omega_2(6,1) < 4 < \omega_1(6,1)$，表明$\omega=4$位于预期强不稳定的区域，且未被轨道不稳定判据排除。