[论文解读] Strong instability of standing waves for nonlinear Schrödinger equations with attractive inverse power potential

Noriyoshi Fukaya, Masahito Ohta|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 18被引用 15

一句话总结

本文在第二 variation of the action functional 在基态处非正的条件下，建立了非线性薛定谔方程带吸引性反幂次势能时驻波解的强不稳定性。通过尺度变换和virial恒等式，作者证明了驻波的小扰动会导致有限时间内爆破，将已知的谐振势情况扩展到了反幂次势情况。

ABSTRACT

We study the strong instability of standing waves $e^{iωt}ϕ_ω(x)$ for nonlinear Schrödinger equations with an $L^2$-supercritical nonlinearity and an attractive inverse power potential, where $ω\in\mathbb{R}$ is a frequency, and $ϕ_ω\in H^1(\mathbb{R}^N)$ is a ground state of the corresponding stationary equation. Recently, for nonlinear Schrödinger equations with a harmonic potential, Ohta (2018) proved that if $\partial_λ^2S_ω(ϕ_ω^λ)|_{λ=1}\le0$, then the standing wave is strongly unstable, where $S_ω$ is the action, and $ϕ_ω^λ(x)\mathrel{\mathop:}=λ^{N/2}ϕ_ω(λx)$ is the scaling, which does not change the $L^2$-norm. In this paper, we prove the strong instability under the same assumption as the above-mentioned in inverse power potential case. Our proof is applicable to nonlinear Schrödinger equations with other potentials such as an attractive Dirac delta potential.

研究动机与目标

• 研究非线性薛定谔方程带吸引性反幂次势能时驻波解的强不稳定性。
• 将此前仅在谐振势情况下建立的强不稳定性判据，推广至反幂次势情况。
• 分析作用量泛函在尺度变换下的行为，并通过virial恒等式推导爆破条件。
• 证明当作用量泛函的二阶变分在基态处非正时，$ H^1 $ 中的任意小扰动均导致有限时间爆破。

提出的方法

• 将驻波解定义为 $ e^{i\theta t} \theta_\theta(x) $，其中 $ \theta_\theta \neq 0 $ 满足定态方程 $ -\triangle \theta_\theta + \theta \theta_\theta - \frac{\theta}{|x|^\theta} \theta_\theta - |\theta_\theta|^{p-1} \theta_\theta = 0 $。
• 引入作用量泛函 $ S_\theta(v) = E(v) + \frac{\theta}{2} \norm{v}_{L^2}^2 $，其中 $ E(v) $ 为能量，利用其通过变分最小化来表征基态。
• 应用尺度变换 $ \theta_\theta^\theta(x) = \theta^{N/2} \theta_\theta(\theta x) $，保持 $ L^2 $-范数不变，并分析二阶变分 $ \theta_\theta^2 S_\theta(\theta_\theta^\theta) \big|_{\theta=1} \nleq 0 $ 作为关键的不稳定性条件。
• 推导virial恒等式 $ \frac{d^2}{dt^2} \norm{x u(t)}_{L^2}^2 = 8Q(u(t)) $，其中 $ Q(u) $ 是与作用量变分相关的二次型。
• 利用不等式 $ Q(u(t)) \nleq 16(S_\theta(u(t)) - S_\theta(\theta_\theta)) < 0 $ 证明 $ \norm{x u(t)}_{L^2} $ 在有限时间内变为负，从而表明爆破发生。
• 构造一列初始数据 $ u_0 = \theta_{M_0} \theta_\theta^{\theta_0} $，其中 $ \theta_0 > 1 $，其在 $ H^1 $ 中与 $ \theta_\theta $ 任意接近，但导致有限时间爆破。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非线性薛定谔方程带吸引性反幂次势能时的驻波解 $ e^{i\theta t} \theta_\theta $ 是强不稳定的？
• RQ2 此前仅在谐振势情况下成立的作用量泛函二阶变分为基础的强不稳定性判据，能否推广至反幂次势情况？
• RQ3 基态的尺度变换如何影响作用量与virial量 $ Q(u) $？这对解的稳定性有何含义？
• RQ4 在满足条件 $ \theta_\theta^2 S_\theta(\theta_\theta^\theta) \big|_{\theta=1} \nleq 0 $ 的前提下，能否构造出与基态在 $ H^1 $ 中任意接近但导致有限时间爆破的初始数据？
• RQ5 当势能具有奇点且为反幂次形式时，virial恒等式是否仍能有效证明近基态解的爆破？

主要发现

• 若 $ \theta_\theta^2 S_\theta(\theta_\theta^\theta) \big|_{\theta=1} \nleq 0 $，则驻波 $ e^{i\theta t} \theta_\theta $ 是强不稳定的，该结果将已知的谐振势结果推广到了反幂次势情况。
• 证明依赖于构造初始数据 $ u_0 = \theta_{M_0} \theta_\theta^{\theta_0} $，其中 $ \theta_0 > 1 $，其在 $ H^1 $ 中与 $ \theta_\theta $ 任意接近，且满足 $ S_\theta(u_0) < S_\theta(\theta_\theta) $ 与 $ Q(u_0) < 0 $。
• virial恒等式 $ \frac{d^2}{dt^2} \norm{x u(t)}_{L^2}^2 = 8Q(u(t)) \nleq 0 $ 若解全局存在则导致矛盾，从而推出有限时间爆破。
• 在给定条件下，作用量 $ S_\theta(\theta_\theta^\theta) $ 在 $ \theta > 1 $ 时严格递减，确保 $ S_\theta(u_0) < S_\theta(\theta_\theta) $。
• 函数 $ Q(\theta_\theta^\theta) $ 在 $ \theta > 1 $ 时严格为负，驱动virial恒等式呈现负曲率，从而导致爆破。
• 该结果具有鲁棒性，可推广至其他势能（如吸引性狄拉克函数势），因方法仅依赖于尺度变换与作用量变分。