[论文解读] Strong instability of standing waves with negative energy for double power nonlinear Schrödinger equations

Noriyoshi Fukaya, Masahito Ohta|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems被引用 6

一句话总结

本文建立了双幂次非线性薛定谔方程中基态驻波强不稳定性的一个充分条件，该方程具有 $L^2$-亚临界和 $L^2$-超临界非线性项。通过分析在 $L^2$-不变缩放下的作用泛函的二阶变分，作者证明：若 $\partial_\lambda^2 S_\omega(\phi_\omega^\lambda)|_{\lambda=1} \leq 0$，则驻波 $e^{i\omega t}\phi_\omega$ 是强不稳定的，即在 $H^1$ 范数下任意小的扰动都会导致有限时间内爆破。

ABSTRACT

We study the strong instability of ground-state standing waves $e^{iωt}ϕ_ω(x)$ for $N$-dimensional nonlinear Schrödinger equations with double power nonlinearity. One is $L^2$-subcritical, and the other is $L^2$-supercritical. The strong instability of standing waves with positive energy was proven by Ohta and Yamaguchi (2015). In this paper, we improve the previous result, that is, we prove that if $\partial_λ^2S_ω(ϕ_ω^λ)|_{λ=1}\le0$, the standing wave is strongly unstable, where $S_ω$ is the action, and $ϕ_ω^λ(x)\mathrel{\mathop:}=λ^{N/2}ϕ_ω(λx)$ is the $L^2$-invariant scaling.

研究动机与目标

• 建立双幂次非线性薛定谔方程中基态驻波强不稳定的充分条件。
• 将先前仅限于正能量解的强不稳定性结果扩展到负能量驻波的情形。
• 分析作用泛函 $S_\omega$ 在 $L^2$-不变缩放 $\phi_\omega^\lambda(x) = \lambda^{N/2}\phi_\omega(\lambda x)$ 下的行为。
• 以 $S_\omega$ 在 $\lambda = 1$ 处的二阶导数形式表征强不稳定性条件。
• 证明当 $\partial_\lambda^2 S_\omega(\phi_\omega^\lambda)|_{\lambda=1} \leq 0$ 时，基态 $\phi_\omega$ 是强不稳定的。

提出的方法

• 定义作用泛函 $S_\omega(v) = E(v) + \frac{\omega}{2}\|v\|_{L^2}^2$，其中 $E(v)$ 为能量，$\omega > 0$ 为频率。
• 引入 $L^2$-不变缩放 $\phi_\omega^\lambda(x) = \lambda^{N/2}\phi_\omega(\lambda x)$，该缩放保持 $L^2$-范数不变。
• 将二阶导数 $\partial_\lambda^2 S_\omega(\phi_\omega^\lambda)|_{\lambda=1}$ 分析为不稳定的判据。
• 定义集合 $\mathcal{B}_\omega$，其包含满足 $S_\omega(v) < S_\omega(\phi_\omega)$，$\|v\|_{L^2} \leq \|\phi_\omega\|_{L^2}$，$K_\omega(v) < 0$，且 $Q(v) < 0$ 的初始数据，其中 $Q(v) = \partial_\lambda S_\omega(v^\lambda)|_{\lambda=1}$。
• 利用守恒律和连续性论证，证明 $\mathcal{B}_\omega$ 在 NLS 方程流下是不变的。
• 利用速度矩恒等式 $\frac{d^2}{dt^2}\|xu(t)\|_{L^2}^2 = 8Q(u(t))$ 和 $Q(u(t))$ 的负性，推导出在给定条件下解的有限时间爆破。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缩放下作用泛函的二阶导数满足何种条件时，基态驻波是强不稳定的？
• RQ2 强不稳定性判据能否扩展到负能量驻波，即 $E(\phi_\omega) < 0$ 的情形？
• RQ3 条件 $\partial_\lambda^2 S_\omega(\phi_\omega^\lambda)|_{\lambda=1} \leq 0$ 是否意味着在基态附近的初始数据会导致有限时间爆破？
• RQ4 $\mathcal{B}_\omega$ 是否在 NLS 流下不变，且是否包含导致爆破的基态扰动？
• RQ5 作用泛函的缩放行为如何与双幂次 NLS 中驻波的稳定性特性相关联？

主要发现

• 若 $\partial_\lambda^2 S_\omega(\phi_\omega^\lambda)|_{\lambda=1} \leq 0$，则驻波 $e^{i\omega t}\phi_\omega$ 是强不稳定的。
• 对所有 $\lambda > 1$，缩放函数 $\phi_\omega^\lambda$ 属于集合 $\mathcal{B}_\omega$，而 $\mathcal{B}_\omega$ 在 NLS 流下是不变的。
• 对于初始数据 $u(0) = \phi_\omega^\lambda$ 的解，由于 $Q(u(t))$ 的负性及速度矩恒等式，其在有限时间内爆破。
• 当 $\lambda \searrow 1$ 时，缩放初始数据 $\phi_\omega^\lambda$ 在 $H^1(\mathbb{R}^N)$ 中收敛于 $\phi_\omega$，从而确认了强不稳定性。
• 基态 $\phi_\omega$ 指数衰减，故 $\phi_\omega \in \Sigma$，确保了速度矩恒等式和爆破分析的有效性。
• 该结果将先前关于正能量驻波的强不稳定性结果推广到了双幂次 NLS 框架下的负能量驻波。