[论文解读] Strong invariance principles with rate for "reverse" martingales and applications

Christophe Cuny, Florence Merlevède|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 29被引用 25

一句话总结

本文在非可逆动力系统（特别是 [0,1] 上的均匀扩张映射）中，为反向鞅差分之和建立了几乎必然不变性原理，并给出了明确的收敛速率。通过利用鞅逼近和一种新颖的耦合技术（结合条件分位数变换与 Strassen 嵌入），在 $ 2 < p \leq 4 $ 时实现了最优速率 $ n^{1/p} \log^\beta n $，将强逼近结果推广至传统鞅方法失效的非可逆情形。

ABSTRACT

In this paper, we obtain almost sure invariance principles with rate of order $n^{1/p}\log^βn$, $2&lt; p\le 4$, for sums associated to a sequence of reverse martingale differences. Then, we apply those results to obtain similar conclusions in the context of some non-invertible dynamical systems. For instance we treat several classes of uniformly expanding maps of the interval (for possibly unbounded functions). A general result for $ϕ$-dependent sequences is obtained in the course.

研究动机与目标

• 为非可逆动力系统中可观测量的部分和建立几乎必然不变性原理，并给出明确的误差速率。
• 通过使用反向鞅差分，克服标准鞅逼近在非可逆系统中因时间方向性而产生的局限性。
• 在可观测量满足温和可积性条件的前提下，将强逼近结果推广至具有无界可观测量的均匀扩张映射。
• 通过反向鞅逼近，为 $ \phi $-混合序列和动力系统提供一个通用框架。
• 相较于基于分块或谱理论的方法，实现更优的速率，尤其在 $ p \in (2,4] $ 时表现更优。

提出的方法

• 作者对部分和 $ S_n(f) = \sum_{i=0}^{n-1} (f \circ T^i - \nu(f)) $ 使用反向鞅逼近，其中 $ (T, \nu) $ 为非可逆动力系统。
• 构造一列适应于非增滤子 $ (\mathcal{G}_k) $ 的反向鞅差分 $ (d_k^*) $，满足 a.s. 有 $ \mathbb{E}[d_k^* \mid \mathcal{G}_{k+1}] = 0 $。
• 采用基于条件分位数变换与 Kantorovitch-Rubinstein 定理的耦合方法，将和与布朗运动联系起来。
• 对适当构造的辅助过程应用 Skorohod-Strassen 嵌入，以实现所需的几乎必然逼近。
• 关键技术步骤是证明反向鞅差分序列的强逼近，其误差为 $ o(n^{1/p} \sqrt{b(n) \log n}) $，其中 $ b(n) $ 为慢变函数。
• 该构造被推广至 $ \phi $-混合序列，并应用于分段扩张映射，得到与 i.i.d. 情况下相当的速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为非可逆动力系统（如 [0,1] 上的均匀扩张映射）中可观测量的部分和建立具有明确速率的强不变性原理？
• RQ2 当标准鞅方法因时间方向性而失效时，如何利用反向鞅逼近在几乎必然不变性原理中实现最优速率？
• RQ3 在什么条件下，可观测量 $ f $ 与映射 $ T $ 能保证逼近误差为 $ o(n^{1/p} \log^\beta n) $，其中 $ 2 < p \leq 4 $？
• RQ4 基于条件分位数变换与 Kantorovitch-Rubinstein 定理的耦合方法能否被适配到反向鞅设置中以实现强逼近？
• RQ5 在具有不变测度 $ \nu $ 的马尔可夫链中，其强逼近结果在多大程度上可通过反向时间性质转移到原始动力系统？

主要发现

• 对于 [0,1] 上的均匀扩张映射，本文在可观测量 $ f $ 满足温和可积性条件时，建立了误差速率为 $ o(n^{1/p} \log^\beta n) $ 的几乎必然不变性原理，其中 $ 2 < p \leq 4 $。
• 通过反向鞅逼近与一种新颖的耦合技术，实现了速率 $ o(n^{1/p} \log^\beta n) $，优于以往仅限于 $ O(n^{3/8 + \varepsilon}) $ 的结果。
• 当 $ p = 3 $ 时，该速率与文献中最佳已知结果（如 $ n^{1/3} (\log n)^{1/2} (\log \log n)^{(1+\varepsilon)/3} $）一致，但采用的是更通用的方法。
• 该方法适用于 $ \phi $-混合序列，并可推广至 $ \mathbb{L}^r(\nu) $ 中的无界可观测量（$ r > 3 $），显著拓宽了先前结果的适用范围。
• 该构造确保部分和与布朗运动之间的逼近误差为 a.s. $ o(n^{1/p} \sqrt{=\log \log n}) $，与 i.i.d. 序列的最佳已知速率一致。
• 本文提供了一个通用框架，使得可通过反向时间性质与反向鞅结构，将马尔可夫链的强逼近结果转移至非可逆动力系统。