[论文解读] Strong limit theorems for weighted sums of negatively associated random variables in nonlinear probability

Yuting Lan, Ning Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2017

Probability and Risk Models参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文在非线性概率空间中建立了负相关随机变量加权和的强极限定理，无需假设独立性或同分布。在上下期望框架下，推导了Marcinkiewicz-Zygmund型和Kolmogorov型强大数定律，并将其应用于证明负相关和垂直独立随机变量的Strassen型不变性原理。

ABSTRACT

In this paper, based on the initiation of the notion of negatively associated random variables under nonlinear probability, a strong limit theorem for weighted sums of random variables within the same frame is achieved without assumptions of independence and identical distribution, from which the Marcinkiewich-Zygmund type and Kolmogorov type strong laws of large numbers are derived. In addition, as applications of our results, Stranssen type invariance principles of negatively associated random variables and vertically independent random variables are proposed respectively.

研究动机与目标

• 将经典的强大数定律（SLLN）推广到期望不具有可加性的非线性概率空间。
• 在非线性期望下，去除负相关随机变量SLLN中对独立性和同分布的假设。
• 在上下期望的背景下，推导Marcinkiewicz-Zygmund型和Kolmogorov型SLLN。
• 利用新的SLLN结果，建立负相关和垂直独立随机变量的Strassen型不变性原理。
• 通过矩条件和非加性测度下的负相关概念，推广现有非线性概率中的SLLN。

提出的方法

• 引入基于一族概率测度的上下期望的非线性概率框架。
• 在非线性概率设定下定义负相关随机变量，将经典相依概念扩展至非加性框架。
• 应用矩条件：存在某个 $\alpha > 0$，使得 $\sup_{i\geq 1}\mathbb{E}[|X_i|^{\alpha+1}] < \infty$，以控制尾部行为。
• 利用上下期望的结构 $\mathbb{E}[X] = \sup_{P\in\mathcal{P}} E_P[X]$，$\mathcal{E}[X] = \inf_{P\in\mathcal{P}} E_P[X]$ 推导路径几乎必然收敛。
• 将极限定理应用于加权和 $\sum_{i=1}^n a_i(X_i - \mathbb{E}[X_i])$ 和 $\sum_{i=1}^n a_i(X_i - \mathcal{E}[X_i])$，并进行归一化 $A_n$。
• 通过分析在下概率 $v$ 下，归一化加权和泛函的上极限和下极限，证明不变性原理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非线性概率中，是否可以在不假设独立性或同分布的前提下，为负相关随机变量的加权和建立强大数定律？
• RQ2 Marcinkiewicz-Zygmund型和Kolmogorov型SLLN在非线性概率的上下期望下如何推广？
• RQ3 在矩条件和归一化序列下，哪些条件能确保非线性框架中加权和的几乎必然收敛？
• RQ4 能否从新的SLLN结果中推导出非线性概率中依赖随机变量的Strassen型不变性原理？
• RQ5 这些结果在非线性期望下如何应用于垂直独立随机变量？

主要发现

• 本文在非线性概率下为负相关随机变量的加权和建立了强大数定律，表明 $\mathbb{V}\left(\left\{\liminf_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^n(X_i - \mathcal{E}[X_i])}{n} < 0\right\} \cup \left\{\limsup_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^n(X_i - \mathbb{E}[X_i])}{n} > 0\right\}\right) = 0$。
• 当 $1 \leq p < 1 + \alpha$ 时，Marcinkiewicz-Zygmund SLLN 成立：$\mathbb{V}\left(\left\{\liminf_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^n(X_i - \mathcal{E}[X_i])}{n^{1/p}} < 0\right\} \cup \left\{\limsup_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^n(X_i - \mathbb{E}[X_i])}{n^{1/p}} > 0\right\}\right) = 0$。
• 下概率满足 $v\left(\liminf_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^n(X_i - \mathcal{E}[X_i])}{n^{1/p}} \geq 0\right) = 1$ 且 $v\left(\limsup_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^n(X_i - \mathbb{E}[X_i])}{n^{1/p}} \leq 0\right) = 1$。
• 证明了Strassen型不变性原理：对连续函数 $\varphi$，有 $v\left(\limsup_{n\to\infty}\varphi\left(\frac{\sum_{i=1}^n a_i(X_i - \mathbb{E}[X_i])}{A_n}\right) \leq \sup_{x\leq 0}\varphi(x)\right) = 1$。
• 在相同的矩条件和归一化条件下，该不变性原理对垂直独立随机变量也成立。
• 结果在条件 $\lim_{n\to\infty}\frac{A_n}{n^{1/(\beta+1)}} = \infty$ 下得出，其中 $\beta \in (0, \min(1,\alpha))$，确保了归一化具有足够的增长。