[论文解读] Strong Marstrand theorems and dimensions of sets formed by subsets of hyperplanes

K. J. Falconer, Pertti Mattila|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用 19

一句话总结

本文建立了 R^n 中到 m 维子空间的投影的强版本 Marstrand 投影定理，证明了具有非最优维数行为的例外方向集合具有零 Hausdorff 测度，且该集合与所考虑的子集无关。利用这些结果，本文证明了通过集合 E ⊂ R^n 的超平面的并集的维数为 min{dim_H E + n − 1, n}，且当 dim_H E > 1 时具有正的 Lebesgue 测度，从而推广了 Keleti 关于线段和超平面的猜想。

ABSTRACT

We present strong versions of Marstrand's projection theorems and other related theorems. For example, if E is a plane set of positive and finite s-dimensional Hausdorff measure, there is a set X of directions of Lebesgue measure 0, such that the projection onto any line with direction outside X, of any subset F of E of positive s-dimensional measure, has Hausdorff dimension min(1,s), i.e. the set of exceptional directions is independent of F. Using duality this leads to results on the dimension of sets that intersect families of lines or hyperplanes in positive Lebesgue measure.

研究动机与目标

• 建立强版本的 Marstrand 投影定理，使得例外集合与子集 F 无关。
• 将 Keleti 关于线段的结果推广到具有正长度的超平面子集。
• 确定通过给定集合 E ⊂ R^n 的所有超平面并集的确切 Hausdorff 维数和 Lebesgue 测度。
• 将这些结果推广到满足横截性条件的投影族，并界定例外集合的维数。

提出的方法

• 使用势论和能量积分分析正交投影到 m-平面上时投影测度的行为。
• 将 Hausdorff 测度分解为在不相交可测集上的有限能量测度，以控制维数行为。
• 利用点与直线（或超平面）之间的对偶性，将投影定理与交集定理联系起来。
• 使用 Fubini 定理并以 m-平面上的图像参数化超平面，以降低维度并应用已知的投影结果。
• 通过傅里叶变换技术和投影密度的 L^2 估计证明绝对连续性，从而在 s > m 时建立正的 Lebesgue 测度。
• 在参数化族中应用 Marstrand 的直线交集定理，以界定像集的维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 若 E 具有正的有限 s 维 Hausdorff 测度，是否可使 Marstrand 投影定理中例外方向集合与 E 的子集 F 无关？
• RQ2 给定 dim_H E = s，通过 Borel 集 E ⊂ R^n 的所有超平面的并集的确切 Hausdorff 维数是多少？
• RQ3 在何种条件下，通过 E 的超平面并集具有正的 n 维 Lebesgue 测度？
• RQ4 当 s ≤ m 或 s > m 时，投影的例外集合的维数行为如何？
• RQ5 强投影定理能否推广到 m < n−1 的 m-平面投影？其局限性是什么？

主要发现

• 对于任意 H^s-可测集 E ⊂ R^n 满足 0 < H^s(E) < ∞ 且 s = dim_H E > 0，存在一个 G_{n,m} 中的集合 X，其 γ_{n,m}-测度为零，使得对所有 V ∈ G_{n,m} \ X，任意 H^s-可测子集 F ⊂ E 满足 H^s(F) > 0，均有 dim_H proj_V F = min{dim_H F, m}。
• 当 s > m 时，任意此类 F 在 V ∈ G_{n,m} \ X 上的投影具有正的 m 维 Lebesgue 测度，即 L^m(proj_V F) > 0。
• 具有非最优维数行为的投影例外集合 X 的 Hausdorff 维数在 s ≤ m 时至多为 m(n−m−1) + s，在 s > m 时至多为 m(n−m)。
• 通过 Borel 集 E ⊂ R^n 的所有超平面的并集 L(E) 满足 dim_H L(E) = min{dim_H E + n − 1, n}。
• 若 dim_H E > 1，则并集 L(E) 具有正的 n 维 Lebesgue 测度，即 L^n(L(E)) > 0。
• 当 dim_H E > (m+1)(n−m)−m 时，通过 E 的 m-平面并集在 R^n 中具有正的 Lebesgue 测度，从而推广了 Oberlin 的结果。