[论文解读] Strong mixing condition for Hawkes processes and application to Whittle estimation from count data

Félix Cheysson, Gabriel Lang|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2020

Point processes and geometric inequalities参考文献 31被引用 4

一句话总结

本文利用霍克斯过程的泊松聚类结构，为其平稳霍克斯过程建立了具有多项式衰减的强混合条件，从而实现了在固定时间区间内对计数数据的谱Whittle估计方法。该方法可对重现核和均值实现一致且渐近正态的估计，经模拟和一个大时间区间的案例研究验证。

ABSTRACT

This paper focuses on the time series generated by the event counts of stationary Hawkes processes. When the exact locations of points are not observed, but only counts over time intervals of fixed size, existing methods of estimation are not applicable. We first establish a strong mixing condition with polynomial decay rate for Hawkes processes, from their Poisson cluster structure. This allows us to propose a spectral approach to the estimation of Hawkes processes, based on Whittle's method, which provides consistent and asymptotically normal estimates under common regularity conditions on their reproduction kernels. Simulated datasets and a case-study illustrate the performances of the estimation, notably of the Hawkes reproduction mean and kernel when time intervals are relatively large.

研究动机与目标

• 解决仅观测到固定时间区间内事件计数而非精确事件时间时，霍克斯过程缺乏有效估计方法的问题。
• 基于其潜在的泊松聚类结构，为霍克斯过程建立具有多项式衰减的强混合条件。
• 开发一种适用于计数数据且在标准正则条件下可应用的谱估计方法——Whittle方法。
• 确保所提出的估计量对重现核和均值具有一致性和渐近正态性。
• 通过模拟和真实数据案例研究，展示该方法在大时间区间下的性能表现。

提出的方法

• 利用霍克斯过程的泊松聚类表示，推导出具有多项式衰减率的强混合条件。
• 将Whittle方法应用于固定时间区间内计数数据的周期图，以估计谱密度。
• 通过最小化差异的对比函数，利用谱密度推断重现核和均值。
• 对重现核施加标准正则条件，以确保估计量的理论性质。
• 采用谱方法，避免对精确点过程观测的依赖，仅依赖聚合计数。
• 通过模拟研究和案例研究验证该方法，评估其在大区间尺寸下的鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于其聚类结构，为平稳霍克斯过程建立具有多项式衰减的强混合条件？
• RQ2 当仅观测到固定时间区间内的聚合计数时，Whittle估计是否适用且统计上有效？
• RQ3 在数据受限条件下，Whittle方法对重现核和均值的估计是否仍保持一致性和渐近正态性？
• RQ4 当时间区间相对较大时，该方法的性能如何变化？
• RQ5 所提出的方法在实际场景中能否有效恢复底层霍克斯过程的参数？

主要发现

• 通过泊松聚类表示，为平稳霍克斯过程建立了具有多项式衰减的强混合条件。
• 在标准正则条件下，结果表明Whittle估计方法可对重现核和均值产生一致且渐近正态的估计。
• 即使在时间区间相对较大的情况下，该方法仍保持有效性，模拟和案例研究均验证了这一点。
• 谱方法成功绕过了对精确事件时间观测的需求，仅依赖计数数据即可实现估计。
• 利用聚类结构推导出理论保证，支持了该估计框架的有效性。
• 实证结果证实了该方法在从聚合计数中恢复霍克斯过程参数方面的鲁棒性和准确性。