[论文解读] Strong Morita Equivalence of Inverse Semigroups

Benjamin Steinberg|ArXiv.org|Jan 18, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 30被引用 12

一句话总结

本文引入了逆半群的强莫里塔等价概念，推广了劳森关于扩张的定义，并证明了强莫里塔等价的逆半群具有莫里塔等价的普遍广群和强莫里塔等价的 C*-代数。关键贡献是为科什卡姆与斯卡兰迪斯关于 F-逆半群的结果提供了新证明，表明其 C*-代数与阿贝尔 C*-代数在群作用下的半直积强莫里塔等价。

ABSTRACT

We introduce strong Morita equivalence for inverse semigroups. This notion encompasses Mark Lawson's concept of enlargement. Strongly Morita equivalent inverse semigroups have Morita equivalent universal groupoids in the sense of Paterson and hence strongly Morita equivalent universal and reduced $C^*$-algebras. As a consequence we obtain a new proof of a result of Khoshkam and Skandalis showing that the $C^*$-algebra of an $F$-inverse semigroup is strongly Morita equivalent to a cross product of a commutative $C^*$-algebra by a group.

研究动机与目标

• 为逆半群发展一种强莫里塔等价的概念，以推广劳森关于扩张的定义。
• 建立强莫里塔等价意味着其普遍广群和 C*-代数的莫里塔等价。
• 为科什卡姆与斯卡兰迪斯关于 F-逆半群 C*-代数强莫里塔等价于阿贝尔 C*-代数在群作用下的半直积的结果提供新证明。
• 表明强莫里塔等价保持诸如上同调群和分类 topos 等结构不变量。
• 证明逆半群的最大群像在其强莫里塔等价类中是不变量。

提出的方法

• 通过五元组 (S, T, X, ⟨·,·⟩, [·,·]) 定义莫里塔上下文，其中 X 是一个具有相容作用和内积的等价双模，并满足特定公理。
• 利用广群的芽构造，将等价双模与半群的普遍广群联系起来。
• 应用里埃费尔的实现双模框架及塔尔瓦的半群强莫里塔等价理论，以在逆半群层面上定义等价关系。
• 利用逆半群的普遍广群是埃莱特广群的事实，且广群的莫里塔等价意味着其 C*-代数的强莫里塔等价。
• 使用芽的极限构造 (Y = lim→ X)，证明最大群像 G(S) 和 G(T) 在 Y 上自由且可迁地作用，从而导出群同构。
• 应用关于在集合上自由且可迁作用的群的反同构结果，证明 G(S) ≅ G(T)。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为逆半群定义一种强莫里塔等价概念，以推广劳森关于扩张的概念？
• RQ2 逆半群的强莫里塔等价是否意味着其普遍广群和 C*-代数的莫里塔等价？
• RQ3 F-逆半群的 C*-代数是否强莫里塔等价于阿贝尔 C*-代数在群作用下的半直积？该结果能否通过新等价理论重新推导？
• RQ4 诸如上同调群和分类 topos 等结构不变量是否在强莫里塔等价下保持不变？
• RQ5 逆半群的最大群像是否为其强莫里塔等价类的不变量？

主要发现

• 逆半群的强莫里塔等价意味着其普遍广群在帕特森意义下的莫里塔等价。
• 强莫里塔等价的逆半群具有强莫里塔等价的普遍 C*-代数和约化 C*-代数。
• 通过新框架重新证明了科什卡姆与斯卡兰迪斯关于 F-逆半群 C*-代数强莫里塔等价于半直积的结果。
• 强莫里塔等价保持最大群像的同构类型，即对于强莫里塔等价的 S 和 T，有 G(S) ≅ G(T)。
• 强莫里塔等价的逆半群的分类 topos 是等价的，因此其上同调群也同构。
• F-逆性质在强莫里塔等价下保持不变，且当幂等元的半格为有向集时，E-单位性也保持不变。