[论文解读] Strong partition relations below the power set: consistency, was Sierpinski right, II?

Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 1991

Advanced Topology and Set Theory参考文献 5被引用 18

一句话总结

本文研究了幂集以下的强分划关系，聚焦于涉及大基数和力迫的分划性质的一致性。它否定了 Galvin 关于 $\omega_2\to[\omega_1]^n_{h(n)}$ 的猜想，并通过 Erdös 基数证明了 $2^\omega\to[\omega_1]^n_{h(n)}$ 的一致性，同时将 Halpern-Läuchli 型定理推广到不可数的 $\lambda$。主要贡献在于对基于 $\omega_2$ 的分划关系得出了否定结果，以及对基于 $2^\omega$ 的关系得出了积极的一致性结果。

ABSTRACT

We continue here [She88] but we do not rely on it. The motivation was a conjecture of Galvin stating that 2^{omega} >= omega_2 + omega_2-> [omega_1]^{n}_{h(n)} is consistent for a suitable h: omega-> omega. In section 5 we disprove this and give similar negative results. In section 3 we prove the consistency of the conjecture replacing omega_2 by 2^omega, which is quite large, starting with an Erdős cardinal. In section 1 we present iteration lemmas which are needed when we replace omega by a larger lambda and in section 4 we generalize a theorem of Halpern and Lauchli replacing omega by a larger lambda .

研究动机与目标

• 研究形如 $\lambda \to [\mu]^n_\theta$ 的强分划关系在 $\lambda < 2^\omega$ 下的一致性，特别关注力迫和大基数的背景。
• 否证 Galvin 提出的猜想，即存在某个 $h: \omega \to \omega$ 使得 $\omega_2 \to [\omega_1]^n_{h(n)}$ 一致成立。
• 通过从 Erdös 基数出发，建立 $2^\omega \to [\omega_1]^n_{h(n)}$ 的一致性。
• 将 Halpern-L"auchli 定理推广到不可数 $\lambda$，并为涉及此类 $\lambda$ 的力迫构造开发迭代引理。
• 在力迫扩张中定义典范上界，并分析其在构造见证分划不可导性的着色中的作用。

提出的方法

• 本文采用迭代力迫构造，使用 $\lambda$-闭力迫序，其中 $\lambda$ 为不可数基数，以保持大基数结构。
• 引入力迫偏序集 $\mathbb{P}$ 中序列的典范上界 $p_0 \mathbin{\&} p_1$，通过 $\mathcal{H}(\chi)$ 上的良序 $<^*_{\chi}$ 定义，以确保唯一性。
• 证明使用了函数层次 $g^1_\kappa$、$g^2_\kappa$ 和着色 $d_1$、$d_2$ 来定义 $[\lambda]^{n+1}$ 上的着色 $d$，以避免出现序类型为 $\mu$ 的单色集，从而证明 $\lambda \not\to [\mu]^{n+1}_\ell$。
• 应用模型论技术，包括大小小于 $\mu$ 的初等等价子模型 $N_i$，以分析递增序列 $\langle \alpha_i : i < \mu \rangle$ 及其与凝聚集 $C^{i}$ 的相互作用。
• 分析区分两种情况：情况 I，其中 $C^i \cap N_j$ 在 $\delta_j$ 中有界，对应使用 $g^1_\kappa$；情况 II，其中 $C^i \cap N_j$ 无界，对应使用 $g^2_\kappa$。
• 利用 Knaster 条件和不动点集的性质，确保所构造的着色不包含所需序类型的同色集。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于某个函数 $h: \omega \to \omega$，分划关系 $\omega_2 \to [\omega_1]^n_{h(n)}$ 是否一致成立？
• RQ2 能否以 Erdös 基数为起始假设，一致地建立关系 $2^\omega \to [\omega_1]^n_{h(n)}$？
• RQ3 当 $\lambda$ 被替换为大于 $\omega$ 的不可数基数 $\lambda$ 时，强分划关系 $\lambda \to [\mu]^n_\theta$ 的行为如何？
• RQ4 在强分划关系的背景下，如何将 Halpern-L"auchli 定理推广到不可数 $\lambda$？
• RQ5 在力迫偏序集中，典范上界在构造分划关系反例中起什么作用？

主要发现

• 本文否定了 Galvin 的猜想，即 $\omega_2 \to [\omega_1]^n_{h(n)}$ 对某个 $h: \omega \to \omega$ 一致成立，证明在 $2^\omega \geq \omega_2$ 的 ZFC 下，此类关系不成立。
• 通过从 Erdös 基数出发构造力迫扩张，证明了 $2^\omega \to [\omega_1]^n_{h(n)}$ 的一致性，表明 $2^\omega$ 支持此类形式的强分划关系。
• 对于 $n \geq 1$，有 $\aleph_n \not\to_{\mathsf{stg}}[\aleph_1]^{n+1}_{\aleph_0}$ 成立，表明即使强形式的分划关系在 $\aleph_n$ 上也失败。
• 本文证明了 $\aleph_t \not\to [\aleph_1]^{n+1}_{\aleph_0}$ 对于 $n \geq 1$ 成立，推广了 TodorČević 对 $n=2$ 的结果。
• 通过根据某集合 $w$ 的大小奇偶性，利用 $d_1$ 和 $d_2$ 构造 $[\lambda]^{n+1}$ 上的着色 $d$，确保不存在序类型为 $\mu$ 的同色集，从而证明 $\lambda \not\to [\mu]^{n+1}_\ell$。
• 对情况 II 的分析，涉及无界交集 $C^i \cap N_j$，导致在 $\mu$ 个不同序类型集合上使用 $g^2_\kappa$，从而在 $[A]^n$ 上构造出最多 $\theta$ 种颜色的着色，确认了分划关系的失败。