[论文解读] Strong Proximities on Smooth Manifolds and Vorono\" i Diagrams

James F. Peters, C. Guadagni|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 16被引用 14

一句话总结

本文引入光滑流形上的强邻近性并建立其拓扑与几何性质，特别是正则开集上的强命中与远距拓扑的第二可数性。证明了流形图册中图表之间的强邻近性蕴含非空交集，并将这些结果应用于Voronoï图与近似流形中的描述性邻近性，实现了空间数据结构的新拓扑表征。

ABSTRACT

This article introduces strongly near smooth manifolds. The main results are (i) second countability of the strongly hit and far-miss topology on a family $\mathcal{B}$ of subsets on the Lodato proximity space of regular open sets to which singletons are added, (ii) manifold strong proximity, (iii) strong proximity of charts in manifold atlases implies that the charts have nonempty intersection. The application of these results is given in terms of the nearness of atlases and charts of proximal manifolds and what are known as Vorono\" i manifolds.

研究动机与目标

• 建立光滑流形上的强邻近性并定义其拓扑性质。
• 证明正则开集的Lodato邻近空间上强命中与远距拓扑的第二可数性。
• 证明流形图册中图表之间的强邻近性蕴含非空交集。
• 将强邻近性应用于Voronoï图与近似流形，特别是通过描述性邻近性。
• 使用特征向量与图表交集定义并分析流形之间的描述性强邻近性。

提出的方法

• 使用强邻近性公理（N0–N6）基于非空内部交集与单点包含来定义集合之间的邻近性。
• 将Lodato邻近框架应用于通过子基元素定义超拓扑：$V^{\text{doublewedge}} = \{E \in \text{CL}(X) : E \mathop{\delta}\limits^{\text{doublewedge}} V\}$ 与 $A^{++} = \{E \in \text{CL}(X) : E \not\delta X\setminus A\}$。
• 通过特征映射 $\Phi: \mathcal{M}_1 \cup \mathcal{M}_2 \to \mathbb{R}^n$ 定义描述性强邻近性 $\mathop{\delta_\Phi}\limits^{\text{doublewedge}}$，以共享特征向量为基础比较集合。
• 引入描述性交集 $\hat{U}_i \mathop{\cap}\limits_{\Phi,\hat{\mathcal{A}}} \hat{V}_j = \{x \in \hat{U}_i \cup \hat{V}_j : \Phi(x) \in \Phi(\hat{U}_i), \Phi(x) \in \Phi(\hat{V}_j)\}$ 以在图册层面上定义强邻近性。
• 使用同胚映射 $\varphi: S_1 \to \varphi(S_1)$，$\psi: S_2 \to \psi(S_2)$ 将局部图表映射到欧氏空间，并在坐标空间中分析邻近性。
• 通过证明共享区域边界的Voronoï图蕴含对应流形之间的强邻近性，将结果应用于Voronoï图。

实验结果

研究问题

• RQ1 在光滑流形的正则开集族上，强命中与远距拓扑是否在强邻近性下具有第二可数性？
• RQ2 流形图册中图表之间的强邻近性能否通过拓扑方式表征，且是否蕴含非空交集？
• RQ3 如何利用特征向量在光滑流形之间定义描述性强邻近性，其对图册层面上的邻近性意味着什么？
• RQ4 Voronoï图与近似流形中的强邻近性之间存在何种关系？
• RQ5 在何种条件下，流形图表之间的强邻近性蕴含其底层流形之间的强邻近性？

主要发现

• 在Lodato邻近空间的正则开集族 $\mathcal{B}$ 上，强命中与远距拓扑 $\tau^{\text{doublewedge}}_{\mathscr{B}}$ 是第二可数的。
• 流形强邻近性意味着图册中任意两个具有非空交集的图表在强邻近关系下彼此强邻近。
• 若两个图表 $U_i$ 与 $V_j$ 满足 $\hat{U}_i \mathop{\cap}\limits_{\Phi,\hat{\mathcal{A}}} \hat{V}_j \neq \emptyset$，则 $U_i \mathop{\delta}\limits^{\text{doublewedge}}_{\hat{\mathcal{A}},\Phi} V_j$。
• 描述性强邻近性 $\mathcal{M}_1 \mathop{\delta_\Phi}\limits^{\text{doublewedge}} \mathcal{M}_2$ 成立当且仅当存在图表 $(S_1,\varphi), (S_2,\psi)$ 使得 $\Phi(\varphi(S_1)) \mathop{\delta}\limits^{\text{doublewedge}} \Phi(\psi(S_2))$。
• 逆命题 $\hat{U}_i \mathop{\delta_\Phi}\limits^{\text{doublewedge}} \hat{V}_j \Rightarrow U_i \mathop{\delta}\limits^{\text{doublewedge}}_{\hat{\mathcal{A}},\Phi} V_j$ 一般不成立，因为特征向量重叠并不能保证在像空间中存在强邻近性。