[论文解读] Strong rates of convergence of space-time discretization schemes for the 2D Navier-Stokes equations with additive noise

Hakima Bessaih, Annie Millet|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2021

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文针对带有加法噪声的二维随机纳维-斯托克斯方程，建立了全隐式时空格式的强收敛速率。通过利用解及其时间逼近的有限指数矩，作者在不使用局部化技术的前提下，运用离散格朗沃尔引理，证明了时间方向收敛率为 η ∈ [0, 1/2)，空间方向收敛率为 1，实现了最优收敛速率，显著优于加法噪声条件下先前的结果。

ABSTRACT

We consider the strong solution of the 2D Navier-Stokes equations in a torus subject to an additive noise. We implement a fully implicit time numerical scheme and a finite element method in space. We prove that the rate of convergence of the schemes is $\eta\in[0,1/2)$ in time and 1 in space. Let us mention that the coefficient $\eta$ is equal to the time regularity of the solution with values in $\LL^2$. Our method relies on the existence of finite exponential moments for both the solution and its time approximation. Our main idea is to use a discrete Gronwall lemma for the error estimate without any localization.

研究动机与目标

• 为二维随机纳维-斯托克斯方程在加法噪声条件下，建立全隐式时间与时空格式的强收敛速率。
• 通过利用解及其时间逼近的有限指数矩，克服非线性随机偏微分方程中局部化技术的局限性。
• 在不施加时间与空间离散化参数之间约束的条件下，证明时间方向收敛率为 η ∈ [0, 1/2)，空间方向收敛率为 1。
• 通过去除粘性系数与噪声强度对收敛率界的影响，拓展先前关于多项式收敛率结果的研究。

提出的方法

• 在环面上对二维随机纳维-斯托克斯方程实施时间方向的全隐式欧拉格式与空间方向的有限元方法。
• 使用离散格朗沃尔引理进行误差估计，避免对非线性项进行局部化处理。
• 建立解及其时间逼近的有限指数矩，特别是对 supₜ∈[0,T] |A¹ᐟ²u(t)|² 和 ∫₀ᵀ |Au(s)|² ds 的矩界。
• 通过伊tô公式与鞅技术证明指数矩界，包括利用布朗增量的缩放性质与独立性。
• 应用霍尔曼德类型矩估计，并引入一个具有协方差算子 Q 的中心化高斯随机变量 Y，以控制噪声项。
• 通过精心选择共轭指数，运用霍尔德不等式，控制确定性与随机初始条件下误差项的指数矩。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于带有加法噪声的二维随机纳维-斯托克斯方程，是否可以在不使用局部化技术的前提下，建立全隐式时间与时空格式的强收敛速率？
• RQ2 在加法噪声条件下，时间与时空格式的最优收敛速率是多少？其与解的时间正则性有何关系？
• RQ3 是否可以在不施加时间与空间离散化参数之间约束的条件下，将时间方向收敛率提升至 η ∈ [0, 1/2)，空间方向收敛率为 1？
• RQ4 解及其时间逼近的指数矩如何实现无需局部化的强收敛性推导？
• RQ5 为确保有限指数矩与最优收敛速率，对初始条件与噪声强度有何要求？

主要发现

• 时间隐式欧拉格式在时间方向达到 η ∈ [0, 1/2) 的强收敛速率，该速率最优，且与粘性系数和噪声强度无关。
• 全时空格式的收敛速率为 hη + k，其中 h 为时间步长，k 为有限元尺度参数，η ∈ (0, 1/2)，实现了最优空间收敛速率 1。
• 对于满足离散 LBB 条件的一般有限元，收敛结果在时间与空间离散化参数之间无任何约束下依然成立。
• 对于 H¹ 中的确定性初始条件，该格式在 L²(Ω) 中实现显式多项式收敛速率，其依赖于指数矩界。
• 对于具有指数矩阶数 γ₀ 的随机初始条件，若 γ₀ 足够大且相对于 ν 与 T 成比例，且 Tr(Q) 有界，则收敛速率得以保持。
• 证明建立了解及其时间逼近的有限指数矩存在性，从而支持使用全局格朗沃尔论证，无需局部化处理。