[论文解读] Strong Rigidity of II$_1$ Factors Arising from Malleable Actions of w-Rigid Groups, I

Sorin Popa|ArXiv.org|May 21, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文建立了源自w-刚性群与可塑性作用的II$_1$因子的基础刚性结果，证明了此类因子之间的任何同构都必须共轭其底层群作用。关键贡献在于表明，在扰动后，w-刚性群可嵌入到目标因子的群子代数中，从而实现了对非经典Bernoulli移位所生成的交叉积II$_1$因子的基本群的完整计算。

ABSTRACT

We consider cross-product II$_1$ factors $M = N times_σ G$, with $G$ discrete ICC groups that contain infinite normal subgroups with the relative property (T) and $σ: G o { ext{ m Aut}}N$ trace preserving actions of $G$ on finite von Neumann algebras $N$ that are ``malleable'' and mixing. Examples are the weighted Bernoulli and Bogoliubov shifts. We prove a rigidity result for such factors, showing the uniqueness of the position of $L(G)$ inside $M$. We use this to calculate the fundamental group $\mycal F(M)$ in terms of the weights of the shift, for certain arithmetic groups $G$ such as $G=\Bbb Z^2 times SL(2, \Bbb Z)$. We deduce that for any countable group $S \subset \Bbb R_+^*$ there exist II$_1$ factors $M$ with $\mycal F(M)=S$, thus bringing new light to a longstanding problem of Murray and von Neumann.

研究动机与目标

• 建立源自w-刚性群与可塑性作用的交叉积II$_1$因子之间同构关系的关键初步刚性结果。
• 证明任何同构在扰动后，都将w-刚性群映射至目标因子的群子代数中。
• 利用此刚性性质，计算源自非经典Connes-Størmer Bernoulli移位作用的II$_1$因子的基本群。
• 证明$\mathbb{R}_+^*$的任意可数子群均可实现为一个可分II$_1$因子的基本群。
• 通过非可分Araki-Woods因子将结果推广至不可数子群，展示基本群可能取值的完整范围。

提出的方法

• 利用w-刚性群的相对(T)性质及Popa框架中的变形/刚性技术。
• 通过规范自同构引入“扫掠”子代数的概念，证明相对刚性子代数在扰动后包含于群子代数中。
• 使用相对于子代数的性质H，借助一列单位元、$N$-双模、保持迹且在$\ell^2$上紧致的完全正映射。
• 应用包含关系的刚性，证明这些映射在扩散子代数的单位元上一致收敛，若子代数不包含于群代数中则导致矛盾。
• 利用Haagerup的紧逼近性质及Bernoulli移位作用的结构，区分轨道等价类。
• 应用[Po3]、[Ga]和[FM]的结果，得出非轨道等价性及不可数外自同构群的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何$\mathbb{R}_+^*$的可数子群是否均可实现为一个可分II$_1$因子的基本群？
• RQ2 源自算术群的非经典Connes-Størmer Bernoulli移位的交叉积II$_1$因子的基本群是什么？
• RQ3 是否存在具有不可数基本群的II$_1$因子？其基本群与因子可分性之间有何关系？
• RQ4 在存在可约商群的情况下，非轨道等价作用的外自同构群有何不同？
• RQ5 w-刚性群的刚性在多大程度上强制交叉积因子之间的同构来源于共轭作用？

主要发现

• 源自非经典Connes-Størmer Bernoulli移位的交叉积II$_1$因子$M$（其中$G=\mathbb{Z}^2\rtimes\Gamma$，$\Gamma\subset SL(2,\mathbb{Z})$为有限指数）的基本群$\mathfrak{F}(M)$等于由作用权重比$\{t_i/t_j\}_{i,j}$生成的乘法群。
• $\mathbb{R}_+^*$的任意可数子群$S$均可实现为一个可分II$_1$因子的基本群。
• $\mathbb{R}_+^*$的任意不可数子群$S$均可实现为一个II$_1$因子的基本群，且满足$\dim L^2(M)=|S|$，利用非可分Araki-Woods因子。
• $\mathbb{F}_n$上的作用$\sigma_0, \sigma_2, \sigma_3, \sigma_4$具有不可数外自同构群，而$\sigma_1$的外自同构群至多可数。
• 在$\mathbb{F}_n$上的五个作用$\sigma_i$（$0\leq i\leq 4$）彼此互不轨道等价，提供了五个不同的轨道等价类。
• $G=\mathbb{Z}^2\rtimes\Gamma$（$\Gamma$为$SL(2,\mathbb{Z})$的有限指数子群）的$\mathcal{L}(G)$的基本群为$\{1\}$，与[Po3]中的早期结果一致。