[论文解读] Strong solutions of the compressible nematic liquid crystal flow

Tao Huang, Changyou Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2011

Navier-Stokes equation solutions参考文献 20被引用 13

一句话总结

该论文在三维空间中建立了简化埃里克斯滕-莱斯利系统所描述的可压缩向列型液晶流的强解的局部存在性与唯一性，允许初始真空存在。论文推导出一个基于 $\|\rho\|_{L^\infty_t L^\infty_x}$ 和 $\|\nabla d\|_{L^3_t L^\infty_x}$ 增长的爆破准则，证明了奇异性仅可能在这些量于有限时间内无界增长时发生。

ABSTRACT

We study strong solutions of the simplified Ericksen-Leslie system modeling compressible nematic liquid crystal flows in a domain $Ω\subset\mathbb R^3$. We first prove the local existence of unique strong solutions provided that the initial data $ρ_0, u_0, d_0$are sufficiently regular and satisfy a natural compatibility condition. The initial density function $ρ_0$ may vanish on an open subset (i.e., an initial vacuum may exist). We then prove a criterion for possible breakdown of such a local strong solution at finite time in terms of blow up of the quantities $\|ρ\|_{L^\infty_tL^\infty_x}$ and $\| abla d\|_{L^3_tL^\infty_x}$.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{R}^3$ 中建立可压缩向列型液晶流的强解的存在性与唯一性，初始数据可能包含真空。
• 在初始数据的相容性和正则性假设尽可能弱的条件下，分析解的正则性及其可能的破裂。
• 推导一个爆破准则，以密度的 $L^\infty$ 范数和 $\nabla d$ 的 $L^3$ 范数来刻画有限时间奇异性形成。

提出的方法

• 利用速度场 $u$、密度 $\rho$ 和取向场 $d$ 的能量估计与 $L^p$ 类型先验估计。
• 应用 Lam\'e 算子 $\mathcal{L}u = \mu\Delta u + (\mu + \lambda)\nabla\mathrm{div}\, u$ 来建模黏性应力，满足物理黏性约束 $\mu > 0$，$2\mu + 3\lambda \geq 0$。
• 采用连续性方程 $\rho_t + \nabla \cdot (\rho u) = 0$ 和动量方程 $\rho u_t + \rho u \cdot \nabla u + \nabla P(\rho) = \mathcal{L}u - \nabla d \cdot \Delta d$ 来描述可压缩流体动力学。
• 使用调和映射热流型方程 $d_t + u \cdot \nabla d = \Delta d + |\nabla d|^2 d$ 来描述向列取向场的演化。
• 应用索伯列夫不等式与插值不等式，控制 $u$ 和 $d$ 的高阶导数，特别是 $\nabla^2 u$、$\nabla^2 d_t$ 和 $\nabla^4 d$。
• 通过证明：若 $\|\rho\|_{L^\infty_t L^\infty_x}$ 和 $\|\nabla d\|_{L^3_t L^\infty_x}$ 保持有界，则解可在任意有限时间 $T_*$ 之后继续延拓，从而推导出爆破准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 在初始密度在某个开集上为零的情况下，可压缩向列型液晶流的强解在局部时间下存在的条件是什么？
• RQ2 强解全局存在的充分条件是什么？什么因素会阻止其在有限时间后继续延拓？
• RQ3 密度 $\rho$ 和取向场梯度 $\nabla d$ 的增长如何影响解的潜在爆破？

主要发现

• 对于足够正则且满足自然相容条件的初始数据 $\rho_0, u_0, d_0$，即使 $\rho_0$ 在 $\Omega$ 的某个开子集上为零，强解也存在且唯一。
• 只要在任意时间区间 $[0, T_*)$ 上 $\|\rho\|_{L^\infty_t L^\infty_x}$ 和 $\|\nabla d\|_{L^3_t L^\infty_x}$ 保持有界，解就保持正则性。
• $\nabla^2 u$ 的 $L^2$-范数由 $\|\rho^{1/2} \dot{u}\|_{L^2}$、$\|\nabla d\|_{L^\infty} \|\Delta d\|_{L^2}$ 及低阶项控制，且在时间上一致有界。
• 在不触发爆破准则的前提下，$u_t$、$\nabla^2 d_t$ 和 $\nabla^4 d$ 的高阶估计在时间上一致有界。
• 爆破准则具有最优性：若解在有限时间 $T_*$ 处破裂，则当 $t \to T_*^-$ 时，$\|\rho\|_{L^\infty_t L^\infty_x}$ 或 $\|\nabla d\|_{L^3_t L^\infty_x}$ 必须趋于无穷。
• 证明依赖于反证法：假设 $T_*$ 为最大存在时间，则 $\nabla^2 u$、$\nabla^2 d_t$ 和 $\nabla^4 d$ 的一致有界性意味着解可被延拓至 $T_*$ 之后，与最大性矛盾。