[论文解读] Strong solutions to the 3D primitive equations with only horizontal dissipation: near $H^1$ initial data

Chongsheng Cao, Jinkai Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 29被引用 5

一句话总结

本文建立了三维原始方程在仅有水平耗散情况下的强解的局部与全局适定性，初始数据属于 $H^1$ 和 $H^1 ackslashcap L^\infty$，且满足 $\partial_z v_0 \in L^m$（$m \in (2,\infty)$）。研究通过各向异性Sobolev不等式与对数型Gronwall不等式实现该结果，改进了以往需要 $H^2$ 初始数据的研究成果。

ABSTRACT

In this paper, we consider the initial-boundary value problem of the three-dimensional primitive equations for oceanic and atmospheric dynamics with only horizontal viscosity and horizontal diffusivity. We establish the local, in time, well-posedness of strong solutions, for any initial data $(v_0, T_0)\in H^1$, by using the local, in space, type energy estimate. We also establish the global well-posedness of strong solutions for this system, with any initial data $(v_0, T_0)\in H^1\cap L^\infty$, such that $\partial_zv_0\in L^m$, for some $m\in(2,\infty)$, by using the logarithmic type anisotropic Sobolev inequality and a logarithmic type Gronwall inequality. This paper improves the previous results obtained in [Cao, C.; Li, J.; Titi, E.S.: Global well-posedness of the 3D primitive equations with only horizontal viscosity and diffusivity, Comm. Pure Appl.Math., Vol. 69 (2016), 1492-1531.], where the initial data $(v_0, T_0)$ was assumed to have $H^2$ regularity.

研究动机与目标

• 为初始数据属于 $H^1$ 的三维原始方程在仅有水平粘性与扩散性的情况下，建立强解的局部适定性。
• 将全局适定性推广至初始数据属于 $H^1 \cap L^\infty$ 且满足 $\partial_z v_0 \in L^m$（$m \in (2,\infty)$）的情形，改进了以往要求 $H^2$ 正则性的结果。
• 发展并应用一种对数型各向异性Sobolev不等式与一种对数型Gronwall不等式，以控制解的增长。
• 通过证明在无垂直耗散时解的全局存在性，验证模型的物理相关性，该结果与海洋与大气动力学一致。

提出的方法

• 利用局部空间能量估计证明 $H^1$ 初始数据下的局部适定性。
• 采用各向异性Sobolev不等式，以水平导数控制速度的垂直导数。
• 应用对数型Gronwall不等式，控制高阶范数随时间的增长。
• 利用仅有水平耗散的原始方程的结构，推导能量估计，避免依赖垂直粘性。
• 采用变量变换与加权积分，处理耗散的各向异性特性。
• 依赖牛顿势表示与分部积分，推导解的逐点界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明在 $H^1$ 初始数据下，仅有水平耗散的三维原始方程的强解存在局部解？
• RQ2 在缺乏垂直耗散的情况下，初始数据需要满足何种正则性条件，才能保证强解的全局存在性？
• RQ3 在缺乏垂直粘性的情况下，如何利用各向异性Sobolev不等式控制解的行为？
• RQ4 能否有效应用对数型Gronwall不等式来控制该系统中 $H^1$ 型范数的增长？
• RQ5 是否可以将初始正则性要求从 $H^2$ 降低至 $H^1 \cap L^\infty$，并辅以较弱的垂直导数可积性？

主要发现

• 通过局部空间能量估计，为任意初始数据 $(v_0, T_0) \in H^1$ 建立了强解的局部适定性。
• 通过各向异性Sobolev不等式与对数型Gronwall不等式，证明了初始数据 $(v_0, T_0) \in H^1 \cap L^\infty$ 且 $\partial_z v_0 \in L^m$（$m \in (2,\infty)$）下的全局适定性。
• 该结果改进了以往工作，将所需的初始正则性从 $H^2$ 降低至 $H^1 \cap L^\infty$，并辅以对垂直导数的温和控制。
• 对数型Gronwall不等式有效控制了解的 $H^1$-范数随时间的增长。
• 该方法通过证明在无垂直耗散时解的全局存在性，确认了模型的物理一致性。
• 分析表明，各向异性估计在处理具有强水平耗散与弱垂直耗散的系统时具有显著有效性。