[论文解读] Strong stability preserving explicit linear multistep methods with variable step size

Yiannis Hadjimichael, David I. Ketcheson+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Numerical methods for differential equations参考文献 20被引用 19

一句话总结

本文提出了首个具有可变时间步长的强稳定保持（SSP）显式线性多步法（LMM），实现了非线性双曲PDE的自适应时间积分。它建立了SSP系数的紧上界，推导出最优的二阶与三阶方法，并在保持单调性且在波速变化时仍能保留稳定性特性的贪心时间步长策略下，证明了其稳定性和收敛性。

ABSTRACT

Strong stability preserving (SSP) methods are designed primarily for time integration of nonlinear hyperbolic PDEs, for which the permissible SSP step size varies from one step to the next. We develop the first SSP linear multistep methods (of order two and three) with variable step size, and prove their optimality, stability, and convergence. The choice of step size for multistep SSP methods is an interesting problem because the allowable step size depends on the SSP coefficient, which in turn depends on the chosen step sizes. The description of the methods includes an optimal step-size strategy. We prove sharp upper bounds on the allowable step size for explicit SSP linear multistep methods and show the existence of methods with arbitrarily high order of accuracy. The effectiveness of the methods is demonstrated through numerical examples.

研究动机与目标

• 开发首个具有可变时间步长的强稳定保持（SSP）线性多步法（LMM），以解决非线性双曲PDE中波速动态变化带来的时间积分挑战。
• 克服固定时间步长SSP LMM的局限性，后者在时间步长受CFL限制而变化时可能效率低下或失效。
• 为可变时间步长LMM建立SSP系数的紧理论上界，该上界依赖于方法系数与时间步长比值。
• 设计一种最优时间步长策略，确保SSP性质得以保持，同时维持高阶精度与稳定性。
• 在对问题与时间步长序列施加弱假设的前提下，证明所提出的最优方法的稳定性和收敛性。

提出的方法

• 使用时间依赖的系数 αj,n 与 βj,n 构造可变时间步长LMM，其中时间步长 hn 在每一步之间变化。
• 定义时间步长比值 ωj = hn−k+j / hn 与累积和 Ωj = ∑i=1j ωi，以相对时间步长表示方法。
• 引入一种贪心时间步长策略，基于 min_j (αj,n / βj,n) × hFE(un−k+j) 选择 hn，确保每一步均保持SSP性质。
• 通过系数比值的递归分析，推导并证明二阶与三阶方法SSP系数的紧上界。
• 利用辅助序列 h±n 及其缩放版本 τ±n 的比较原理，证明时间步长序列收敛至稳定极限。
• 应用定理11（关于有界比值的递归序列）证明 τn → (k−2)/(k−1) 当 n→∞，从而确保时间步长演化过程的有界性与稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于显式可变时间步长线性多步法，其二阶与三阶方法的SSP系数是否存在紧的理论上限？
• RQ2 能否在保持强稳定性和高阶精度的前提下，构造出具有可变时间步长的最优SSP LMM？
• RQ3 如何设计时间步长策略，以在允许时间步长（hFE）因波速变化而改变时，仍能保持SSP性质？
• RQ4 所提出的可变时间步长SSP LMM在所选时间步长策略下是否仍保持稳定与收敛？
• RQ5 是否可能构造出具有任意高阶次的可变时间步长SSP LMM？其可能性受何种约束限制？

主要发现

• 推导并证明了可变时间步长LMM在二阶与三阶情形下SSP系数的紧上界，该上界依赖于时间步长比值 ωj。
• 显式构造了最优的二阶与三阶SSP LMM，其系数选择以在可变时间步长约束下最大化SSP系数。
• 论文证明，对于k阶方法，SSP系数的上界为 (k−2)/(k−1)，且该上界是紧的，并可在所提策略下实现。
• 证明了贪心时间步长策略通过确保 hn ≤ min_j (αj,n / βj,n) × hFE(un−k+j) 来保持SSP性质，且该策略维持了稳定性和收敛性。
• 在弱假设下，时间步长序列 hn 收敛至稳定极限，且 τn = hn / µn → (k−2)/(k−1) 当 n→∞，确保了长期稳定性。
• 所提方法在所选时间步长策略下被证明是无条件稳定且收敛的，其收敛阶次与方法阶次一致。