[论文解读] Strong uniqueness for certain infinite dimensional Dirichlet operators and applications to stochastic quantization

Vitali Liskevich, Michael Röckner|ArXiv.org|Jan 9, 1998

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用 20

一句话总结

本文通过有限维投影的先验估计，建立了无限维 Dirichlet 算子的强唯一性，证明了二维欧几里得量子场论中随机量化生成元的本征自伴性与 $L^p$-唯一性。该方法推广了先前的估计技术，适用于对数导数分解为两部分的测度，解决了长期存在的 $L^2$-设定下的开放问题，并推广至 $L^p$（$p \in (1+1/(1+\sqrt{\varepsilon_0}), 1+1/(1-\sqrt{\varepsilon_0}))$）。关键贡献是基于与维数无关的统一梯度估计，提出了一种新的 $L^p$-唯一性准则。

ABSTRACT

Strong and Markov uniqueness problems in $L^2$ for Dirichlet operators on rigged Hilbert spaces are studied. An analytic approach based on a--priori estimates is used. The extension of the problem to the $L^p$-setting is discussed. As a direct application essential self--adjointness and strong uniqueness in $L^p$ is proved for the generator (with initial domain the bounded smooth cylinder functions) of the stochastic quantization process for Euclidean quantum field theory in finite volume $Λ\subset \R^2$.

研究动机与目标

• 解决无限维设定下带骨架希尔伯特空间上 Dirichlet 算子的强唯一性问题。
• 在有限体积 $\Lambda \subset \mathbb{R}^2$ 中，建立随机量化生成元的本质自伴性与 $L^p$-唯一性。
• 将先前的先验估计技术推广，以处理具有两个不同分量的对数导数。
• 将分析方法扩展至 $L^p$-设定，证明 $p \neq 2$ 时 $C_0$-半群生成元的唯一性。
• 基于 $L^1$-唯一性，提出 Markov 唯一性的新近似准则。

提出的方法

• 对与 Dirichlet 算子相关的抛物方程的有限维投影解的梯度使用先验估计。
• 在 $L^{2p}$-空间中对 $\nabla u_n$ 应用维数无关的有界性，以控制逼近半群的行为。
• 将无限维唯一性问题约化为有限维逼近的统一估计。
• 对 $L^p$-唯一性使用测试函数 $\nabla_i u_n (|\nabla u_n|^2 + \varepsilon)^{p-2}$，推广 $L^2$ 情况。
• 对对数导数 $\beta = \alpha + \delta$ 施加条件，要求 $|\alpha|_0 \in L^{2p}$，$|\delta|_- \in L^2$，且存在序列 $\delta^m$ 在 $L^p$ 中收敛于 $\delta$。
• 通过证明原始算子在 $\mathcal{F}C^\infty_b$ 上的任意半群扩张均可由同一序列逼近，从而证明唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非光滑对数导数的无限维 Dirichlet 形式下，Dirichlet 算子在 $\mathcal{F}C^\infty_b$ 上何时在 $L^2$ 中本质自伴？
• RQ2 先验估计方法能否推广至 $p \neq 2$ 的 $L^p$-唯一性？$\beta$ 和逼近序列 $\delta^m$ 需要满足什么条件？
• RQ3 该方法是否能通过 $L^1$-唯一性产生 Markov 唯一性的新准则？其与现有结果的关系如何？
• RQ4 对于 $L^p$-唯一性，$p$ 的最优范围是什么？限制 $p \in (1+1/(1+\sqrt{\varepsilon_0}), 1+1/(1-\sqrt{\varepsilon_0}))$ 是必要还是技术性条件？
• RQ5 该方法能否适用于具有变系数或非光滑系数、奇异势的 Dirichlet 形式？

主要发现

• 在定理 1 的条件下，Dirichlet 算子 $(-\Delta - (\beta, \nabla \cdot)_+ \restriction \mathcal{F}C^\infty_b)$ 在 $L^2(\mathcal{H}_{-}, \nu)$ 中本质自伴，解决了随机量化中的一个开放问题。
• 对于 $p \in (1+1/(1+\sqrt{\varepsilon_0}), 1+1/(1-\sqrt{\varepsilon_0}))$，算子 $\Delta + (\beta, \nabla \cdot)\restriction \mathcal{F}C^\infty_b$ 在 $L^p$ 上有唯一扩张，生成 $C_0$-半群，如定理 3 所述。
• 通过更简单的先验估计，建立了 $L^1$-唯一性结果（定理 2），为 Markov 唯一性提供了新的近似准则。
• $L^1$-唯一性结果与定理 3 互补，适用于 $p \leq 1 + 1/(1+\sqrt{\varepsilon_0})$，定理 4 在 $|\alpha|_0$ 的可积性条件更弱时，将结果扩展至 $p \in [1,2)$。
• 该方法通过修改测试函数与统一梯度估计，推广至 $p \in [1,2)$ 与 $p > 1$ 的 $L^p$-唯一性，$p=3/2$ 情况在 $\delta=0$ 时恢复了文献 [29] 的结果。
• 结果可直接应用于有限体积中 $\phi^4_2$-理论的随机量化，其中测度为具有多项式自相互作用的二维欧几里得量子场。