[论文解读] Strongly nonlinear nature of interfacial-surfactant instability of Couette flow

Alexander Frenkel, David Halpern|ArXiv.org|Jan 12, 2006

Fluid Dynamics and Thin Films参考文献 32被引用 13

一句话总结

本文研究了在薄层与厚流体层构成的蠕动平面Couette流中，界面-表面活性剂不稳定性在强非线性条件下的动力学行为。通过求解薄膜厚度与表面活性剂浓度的耦合长波演化方程的数值模拟，表明由于非线性项与线性项之间存在根本性矛盾，无论剪切速率大小如何，均不会出现小振幅饱和现象，导致弱非线性理论不适用，即使在任意小的剪切速率下，也会产生大振幅且无界的扰动。

ABSTRACT

Nonlinear stages of the recently uncovered instability due to insoluble surfactant at the interface between two fluids are investigated for the case of a creeping plane Couette flow with one of the fluids a thin film and the other one a much thicker layer. Numerical simulation of strongly nonlinear longwave evolution equations which couple the film thickness and the surfactant concentration reveals that in contrast to all similar instabilities of surfactant-free flows, no amount of the interfacial shear rate can lead to a small-amplitude saturation of the instability. Thus, the flow is stable when the shear is zero, but with non-zero shear rates, no matter how small or large (while remaining below an upper limit set by the assumption of creeping flow), it will reach large deviations from the base values-- of the order of the latter or larger. It is conjectured that the time this evolution takes grows to infinity as the interfacial shear approaches zero. It is verified that the absence of small-amplitude saturation is not a singularity of the zero surface diffusivity of the interfacial surfactant.

研究动机与目标

• 研究在薄层与厚流体层构成的蠕动平面Couette流中，界面-表面活性剂不稳定性在非线性演化过程中的行为。
• 确定在不同界面剪切速率下，是否会出现类似无表面活性剂流体中所见的小振幅饱和现象。
• 评估表面活性剂表面扩散系数在促进或抑制不稳定性饱和中的作用。
• 确定弱非线性理论是否仍适用于描述该不稳定性在长时间演化中的行为。
• 探讨缺乏饱和现象对表面活性剂存在下的黏性流体中图案形成与流动稳定性的影响。

提出的方法

• 利用润滑近似推导薄膜厚度与表面活性剂浓度的简化耦合长波演化方程系统。
• 在扩展的空间域上对耦合方程的强非线性演化进行数值模拟，以捕捉大振幅动力学行为。
• 将表面活性剂表面扩散系数（D）引入模型，通过D = 0与D = 0.1的模拟，检验其对饱和现象的影响。
• 采用渐近分析方法，研究演化方程中主导平衡关系，重点关注非线性项与曲率项。
• 应用反证法，证明在弱非线性区域中，小振幅薄膜厚度与表面活性剂浓度的饱和解在一般单时间尺度条件下不可能存在。
• 将结果与已知的无表面活性剂系统进行对比，突出表面活性剂存在下流动中不稳定性行为的独特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Couette流中，界面-表面活性剂不稳定性是否在任何剪切速率下（包括任意小的剪切速率）均表现出小振幅饱和？
• RQ2 与无表面活性剂的黏性薄膜流相比，不溶性表面活性剂的存在如何改变非线性饱和机制？
• RQ3 表面活性剂表面扩散系数在促进或抑制不稳定性饱和中起何种作用？
• RQ4 弱非线性理论是否能够描述该不稳定性在长时间演化中的行为，还是其必然失效？
• RQ5 是否存在一个表面活性剂扩散系数的临界阈值，超过该值后小振幅饱和现象才可能实现？

主要发现

• 对于任何非零的界面剪切速率，无论其大小如何，均不会出现小振幅饱和现象，其根本原因在于演化方程中非线性项与线性项之间存在根本性不相容。
• 反证法证明，在一般单时间尺度条件下，薄膜厚度与表面活性剂浓度的小振幅饱和解不可能存在。
• 数值模拟结果证实，即使在极小的剪切速率下，薄膜厚度与表面活性剂浓度的扰动仍会增长至量级为1或更大。
• 引入非零表面活性剂扩散系数（D = 0.1）后，仍未引发小振幅饱和；不稳定性仍演化为大振幅状态。
• 缺乏饱和现象并非源于表面扩散系数为零，而是耦合非线性系统内在的结构性特征，源于演化方程中各项主导作用的相互竞争。
• 该不稳定性本质上是强非线性的，弱非线性模型无法用于描述其长时间动力学行为，因此必须对强非线性方程进行完整数值模拟。