[论文解读] Strongly regular Cayley graphs from partitions of subdifference sets of the Singer difference sets

Koji Momihara, Qing Xiang|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于Singer差集子差集划分的双曲型强正则Cayley图的新提升构造方法，适用于有限域。通过推广与$m$-椭球面和$i$-紧密集相关的先前构造，作者统一并简化了现有结果，得到了具有已知参数的新图或非同构的强正则图，包括参数与仿射极图匹配的$\mathbb{F}_{q^{2m}}$上的例子。

ABSTRACT

In this paper, we give a new lifting construction of "hyperbolic" type of strongly regular Cayley graphs. Also we give new constructions of strongly regular Cayley graphs over the additive groups of finite fields based on partitions of subdifference sets of the Singer difference sets. Our results unify some recent constructions of strongly regular Cayley graphs related to $m$-ovoids and $i$-tight sets in finite geometry. Furthermore, some of the strongly regular Cayley graphs obtained in this paper are new or nonisomorphic to known strongly regular graphs with the same parameters.

研究动机与目标

• 开发双曲型强正则Cayley图的新提升构造方法。
• 统一有限几何中与$m$-椭球面和$i$-紧密集相关的强正则Cayley图的近期构造。
• 利用Singer差集的子差集，为现有构造提供更简单的证明。
• 生成具有与已知族（如仿射极图）相同参数的新图或非同构的强正则图。

提出的方法

• 通过Singer差集子差集的广义划分，将$\mathbb{F}_q$上的cyclotomic强正则图提升至$\mathbb{F}_{q^m}$。
• 应用高斯和技巧与有限域上的特征和分析，验证强正则性所需特征值条件。
• 利用子域结构与迹映射对子差集进行划分，并控制特征和。
• 利用cyclotomic类$C_t^{(N,q^m)}$及其并集的性质，定义Cayley图的连接集。
• 验证所得Cayley图满足强正则性所需的特征值与邻接矩阵条件。
• 证明连接集$D$的特征和仅产生两个不同的受限特征值，从而确认强正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从Singer差集的子差集出发，发展双曲型强正则Cayley图的新提升构造？
• RQ2 如何通过子差集划分，统一并简化基于$m$-椭球面和$i$-紧密集的构造？
• RQ3 新构造是否产生与已知图同参数但非同构的强正则图？
• RQ4 高斯和与迹映射在刻画这些Cayley图特征值方面起什么作用？
• RQ5 在何种$q$与$m$条件下，所得图达到拉丁方或负拉丁方类型的参数？

主要发现

• 建立了双曲型强正则Cayley图的新提升构造，扩展了先前的椭圆型构造。
• 当$q \equiv 3 \pmod{4}$且奇数$m > 1$时，存在参数为$(q^{2m}, r(q^m+1), -q^m + r^2 + 3r, r^2 + r)$的强正则Cayley图，其中$r = q^{m-1}(q-1)/2$。
• 当$q \equiv 1 \pmod{4}$且奇数$m > 1$，且$\gcd(q-1, (q^m-1)/(q-1)) = 1$时，存在参数为$(q^{2m}, r(q^m-1), q^m + r^2 - 3r, r^2 - r)$的强正则Cayley图，其中$r = q^{m-1}(q-1)/2$。
• 当$q=3$，$m=3$时构造的图与同参数的仿射极图${\mathrm{AP}}^{-}$不同构，经自同构群大小比较确认。
• 当$q=5$，$m=3$时构造的图与同参数的仿射极图${\mathrm{AP}}^{+}$不同构，再次通过自同构群阶数不同确认。
• 本研究通过Singer差集的子差集划分，统一并简化了近期与$m$-椭球面和$i$-紧密集相关的构造。