[论文解读] Strongly right alternative rings and Bol loops

Michael Kinyon, J. D. Phillips|ArXiv.org|Jul 30, 2005

Mathematics and Applications参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文证明，在有限强右交替环中，乘法下的单位集与圆乘法下的拟正则元集均构成Bol圈。关键结果表明，有限性确保了单位集与拟正则元集在其各自运算下的封闭性，推广了关于交替环的已知结果，并部分回答了Goodaire提出的关于非结合环中这些集合的圈结构的开放问题。

ABSTRACT

We partially answer two questions of Goodaire by showing that in a finite, strongly right alternative ring, the set of units (if the ring is with unity) is a Bol loop under ring multiplication, and the set of quasiregular elements is a Bol loop under "circle" multiplication.

研究动机与目标

• 解决Goodaire提出的关于强右交替环中单位与拟正则元的圈结构的两个开放问题。
• 建立在有限强右交替环中，乘法下的单位集构成Bol圈。
• 证明在该类环中，圆乘法下的拟正则元集也构成Bol圈。
• 通过新方法证明在交替环中，单位集与拟正则元集构成Moufang圈，从而推广已知结果。
• 在有限性假设下，研究具有单位元的Bol小代数中可逆元集的封闭性。

提出的方法

• 证明在具有单位元的有限Bol小代数中，具有双边逆元的元素集在乘法下封闭，并构成一个圈。
• 利用右Bol恒等式及右平移的性质，证明逆元唯一，并且右平移与左平移在可逆元集上为双射。
• 应用有限性条件，证明具有右逆元的元素也必有左逆元，从而确保可逆元集的封闭性。
• 在柔性Bol小代数的情形下，利用拟结合恒等式，证明可逆元集构成Moufang圈。
• 使用圆运算 $ x \circ y = x + y + x \cdot y $ 定义拟正则元，并分析该运算下的小代数结构。
• 将相同的封闭性与圈结构论证应用于圆运算下的拟正则元集，证明在有限强右交替环中，该集合构成Bol圈。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有单位元的有限强右交替环中，乘法下的单位集是否构成Bol圈？
• RQ2 在有限强右交替环中，圆运算下的拟正则元集是否构成Bol圈？
• RQ3 在有限性假设下，能否保证具有单位元的Bol小代数中可逆元集的封闭性？
• RQ4 在具有单位元的柔性Bol小代数中，可逆元集是否构成Moufang圈？
• RQ5 强右交替环的结果能否推广至无限环？有限性假设是否必不可少？

主要发现

• 在具有单位元的有限强右交替环中，乘法下的单位集 $ \mathcal{U}(R) $ 构成Bol圈。
• 在有限强右交替环中，圆运算 $ x \circ y = x + y + x \cdot y $ 下的拟正则元集 $ \mathcal{Q}(R) $ 构成Bol圈。
• 对于具有单位元的有限Bol小代数，可逆元集 $ \mathcal{J}(L) $ 在乘法下封闭并构成一个圈。
• 在具有单位元的柔性Bol小代数中，可逆元集 $ \mathcal{J}(L) $ 构成Moufang圈。
• 本研究提供了新的证明：在交替环中，单位与拟正则元集构成Moufang圈，其依据为Bol小代数的结构。
• 本文表明，有限性足以确保在Bol小代数中可逆元集的封闭性，即使不假设结合律或柔性。