[论文解读] Structural and Symmetry Analysis of Discrete Dynamical Systems

Vladimir V. Kornyak|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2010

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文提出了一套群论框架，用于分析在对称图（如巴克敏斯特富勒烯）上的离散动力系统，特别是元胞自动机和自旋模型。通过分裂群扩张统一了空间对称性和内部对称性，表明局部规则必须尊重局部对称群的轨道结构——这导致哈密顿量中出现不同的耦合常数以及对称性不变的更新规则，并将该方法明确应用于三价结构上的伊辛模型和康威的生命游戏。

ABSTRACT

To study discrete dynamical systems of different types --- deterministic, statistical and quantum --- we develop various approaches. We introduce the concept of a system of discrete relations on an abstract simplicial complex and develop algorithms for analysis of compatibility and construction of canonical decompositions of such systems. To illustrate these techniques we describe their application to some cellular automata. Much attention is paid to study symmetries of the systems. In the case of deterministic systems, we reveale some important relations between symmetries and dynamics. We demonstrate that moving soliton-like structures arise inevitably in deterministic dynamical system whose symmetry group splits the set of states into a finite number of group orbits. We develop algorithms and programs exploiting discrete symmetries to study microcanonical ensembles and search phase transitions in mesoscopic lattice models. We propose an approach to quantization of discrete systems based on introduction of gauge connection with values in unitary representations of finite groups --- the elements of the connection are interpreted as amplitudes of quantum transitions. We discuss properties of a quantum description of finite systems. In particular, we demonstrate that a finite quantum system can be embedded into a larger classical system. Computer algebra and computational group theory methods were useful tools in our study.

研究动机与目标

• 形式化局部对称群在定义离散图（如巴克敏斯特富勒烯）上一致局部动力学中的作用。
• 将空间对称性（例如，二十面体群）与内部对称性（例如，自旋翻转）统一为系统态上的单一群作用。
• 推导出局部规则（如元胞自动机或自旋哈密顿量）必须尊重局部稳定子作用下邻域边的轨道分解的条件。
• 将元胞自动机中“出生/存活”规则的概念推广至具有对称性约束的k-价图。
• 通过群论轨道计数，建立k-价图上对称二元规则与标准生命家族规则之间的对应关系。

提出的方法

• 使用全对称群 $\mathrm{G} = \mathbb{Z}_2 \times \mathrm{Alt}(5)$ 中顶点的稳定子子群 $\mathrm{G}_{\mathrm{loc}} = \mathrm{Stab}_{\mathrm{G}}(x_i)$ 分析巴克敏斯特富勒烯邻域中的边轨道。
• 通过在 $\mathrm{G}_{\mathrm{loc}}$ 作用下不变的函数定义局部动力学，要求对应于等价边的变量（如 $x_{1,i}$ 和 $x_{2,i}$）保持对称性。
• 通过反同态 $\mu: \mathrm{G} \to \mathrm{Aut}(\Gamma^X)$ 和函数 $\kappa: \mathrm{G} \to \mathrm{G}$ 参数化，构造 $\mathrm{G}$ 对 $\Gamma^X$ 的分裂扩张 $\mathrm{W} \leq \mathrm{Sym}(\Sigma^X)$。
• 推导出 $\mathrm{W}$ 中群作用、乘法和逆元的一般公式，推广了直接积与wreath积构造。
• 将该形式化方法应用于巴克敏斯特富勒烯上的伊辛模型，表明哈密顿量必须使用两个不同的耦合常数 $J_{12}$ 和 $J_3$，分别对应于不同的边轨道。
• 将康威生命游戏的局部规则表示为 $\mathbb{F}_2$ 上的多项式，使用初等对称多项式编码出生与存活条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 离散图的局部对称性如何约束元胞自动机或自旋模型中有效局部规则的形式？
• RQ2 将空间对称性与内部对称性统一为系统态上单一群作用的一般数学结构是什么？
• RQ3 如何利用局部稳定子群作用下邻域边的轨道分解来对物理模型中的耦合常数进行分类？
• RQ4 k-价图上对称二元规则与元胞自动机标准“出生/存活”规则格式之间的确切关系是什么？
• RQ5 康威生命游戏的局部规则能否通过 $\mathbb{F}_2$ 上的对称多项式系统地表示？

主要发现

• 巴克敏斯特富勒烯的对称群为 $\mathrm{G} = \mathbb{Z}_2 \times \mathrm{Alt}(5)$，局部稳定子 $\mathrm{G}_{\mathrm{loc}} = \mathbb{Z}_2$ 作用于三个邻域边，产生两个轨道：$\{e_{1,i}, e_{2,i}\}$ 和 $\{e_{3,i}\}$，反映了不同的化学角色（单键与双键）。
• 巴克敏斯特富勒烯上的伊辛哈密顿量必须使用两个不同的耦合常数 $J_{12}$ 和 $J_3$，分别对应于两个边轨道，可表示为 $H_{\text{bucky}} = -\frac{1}{2}\sum_i s_i\left[J_{12}(s_{1,i}+s_{2,i}) + J_3 s_{3,i}\right] - B\sum_i s_i$。
• 巴克敏斯特富勒烯上的元胞自动机规则必须在第一轨道的两条边之间保持对称，即 $f(x_i, x_{1,i}, x_{2,i}, x_{3,i}) = f(x_i, x_{2,i}, x_{1,i}, x_{3,i})$。
• 统一空间与内部对称性的广义群 $\mathrm{W}$ 是 $\mathrm{G}$ 对 $\Gamma^X$ 的分裂扩张，由反同态 $\mu$ 和函数 $\kappa$ 参数化，且给出了作用、乘法和逆元的显式公式。
• 标准的直积 $\Gamma^X \times \mathrm{G}$ 和半直积 $\Gamma \wr_X \mathrm{G}$ 均为此构造的特例，分别对应于 $\mu(a) = 1$ 和 $\mu(a) = a^{-1}$。
• k-价邻域上k-对称二元规则的数量为 $N_{B/S,k} = 2^{2k+2}$，且该数量与通过轨道类型计数的结果一致，证明所有此类规则均等价于标准生命家族规则。