[论文解读] Structural Instability of a Biochemical Process

V. I. Grytsay|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2017

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文通过广义Benettin算法结合Gram–Schmidt正交化，利用李雅普诺夫谱分析研究了生化系统中的结构性不稳定性。研究识别出两种不同的机制——折叠与漏斗形成——揭示了在耗散生物系统中确定性混沌的产生，其根源在于指数发散与相空间收缩之间的竞争，导致即使在确定性定律下，演化也变得不可预测。

ABSTRACT

By the example of a mathematical model of a biochemical process, the structural instability of dynamical systems is studied by calculating the full spectrum of Lyapunov indices with the use of the generalized Benettin algorithm. For the reliability of the results obtained, the higher Lyapunov index determined with the orthogonalization of perturbation vectors by the Gram-Schmidt method is compared with that determined with the overdetermination of only the norm of a perturbation vector. Specific features of these methods and the comparison of their efficiencies for a multidimensional phase space are presented. A scenario of the formation of strange attractors at a change of the dissipation parameter is studied. The main regularities and the mechanism of formation of a deterministic chaos due to the appearance of a fold or a funnel, which leads to the uncertainty of the evolution of a biosystem, are determined.

研究动机与目标

• 通过严格的李雅普诺夫指数计算，研究非线性生化系统中的结构性不稳定性。
• 比较两种数值方法在计算李雅普诺夫指数时的可靠性与效率：仅基于范数的过度确定法与Gram–Schmidt正交化法。
• 确定驱动生系统中确定性混沌出现的动力学机制，特别是折叠与漏斗形成。
• 分析耗散参数α变化时，系统从规则吸引子向混沌吸引子的转变过程。
• 确立确定性混沌源于指数发散与全局相空间收缩之间的竞争，导致长期预测性完全丧失。

提出的方法

• 应用广义Benettin算法，计算模拟生物反应器的10维动力系统李雅普诺夫指数的完整谱。
• 在积分过程中使用Gram–Schmidt正交化，以保持扰动向量的正交性，确保数值稳定性。
• 将正交化方法的结果与简单范数过度确定法的结果进行比较，以验证计算的准确性。
• 在时间区间T内，沿吸引子上的轨迹追踪10个初始正交、单位范数的扰动向量的演化。
• 将李雅普诺夫指数定义为扰动向量范数对数增长率的时间平均值：λ_j = (1/(nτ)) Σ ln(||u_k|| / ε)。
• 通过相空间体积收缩的度量——李雅普诺夫指数之和（Λ）——分析系统，确认所有参数区间下均为负值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高维系统中，数值方法的选择（仅范数 vs. Gram–Schmidt）如何影响李雅普诺夫指数计算的可靠性？
• RQ2 具体而言，折叠或漏斗形成等何种动力学机制导致了该生化模型中确定性混沌的出现？
• RQ3 耗散参数α如何调控系统从规则吸引子向混沌吸引子的转变？
• RQ4 第一李雅普诺夫指数（λ₁）在表征混沌起始过程中的作用是什么？其与奇异吸引子结构的相关性如何？
• RQ5 相空间收缩（Λ < 0）与指数发散（λ₁ > 0）在多大程度上共存？这种双重性如何促成混沌行为？

主要发现

• 通过范数过度确定法与Gram–Schmidt正交化法计算出的高阶李雅普诺夫指数值几乎完全一致，证实了数值实现的可靠性。
• 对于奇异吸引子（n*2^∞），λ₁ > 0 且 λ₂ ≈ 0，表明在一个方向上存在指数发散，而在第二个方向上表现为拟周期行为，与“开-关间歇性”一致。
• 第三李雅普诺夫指数（λ₃）与λ₁和λ₂呈负相关，当后者增大时其减小，且在所有α值下均保持负值。
• 李雅普诺夫指数之和（Λ）在所有α值下均为负，确认了系统的耗散性，且规则吸引子（n*2⁰）的收缩强度强于奇异吸引子（n*2^∞）。
• 在α = 0.032165626064时，形成了13*2^∞的奇异吸引子，表明系统通过周期倍化级联，经由间歇动力学演化至混沌。
• 确定性混沌的产生机制与相空间中折叠（图1a）或漏斗（图1c）的形成直接相关，其中轨迹被拉伸并折叠，导致对初始条件的极端敏感性。