[论文解读] Structural Iterative Rounding for Generalized $k$-Median Problems

Anupam Gupta, Benjamin Moseley+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2020

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一句话总结

本文提出了一种针对广义k-中位问题的改进型迭代取整算法，仅使用O(1)个分数变量即实现了6.387-近似比。通过利用集合覆盖类线性规划中极点的结构特性，该方法优于以往工作，为带异常值的k-中位问题和背包k-中位问题分别实现了新的最佳近似比：6.994+ϵ 和 6.387+ϵ。

ABSTRACT

This paper considers approximation algorithms for generalized $k$-median problems. This class of problems can be informally described as $k$-median with a constant number of extra constraints, and includes $k$-median with outliers, and knapsack median. Our first contribution is a pseudo-approximation algorithm for generalized $k$-median that outputs a $6.387$-approximate solution, with a constant number of fractional variables. The algorithm builds on the iterative rounding framework introduced by Krishnaswamy, Li, and Sandeep for $k$-median with outliers. The main technical innovation is allowing richer constraint sets in the iterative rounding and taking advantage of the structure of the resulting extreme points. Using our pseudo-approximation algorithm, we give improved approximation algorithms for $k$-median with outliers and knapsack median. This involves combining our pseudo-approximation with pre- and post-processing steps to round a constant number of fractional variables at a small increase in cost. Our algorithms achieve approximation ratios $6.994 + ε$ and $6.387 + ε$ for $k$-median with outliers and knapsack median, respectively. These improve on the best-known approximation ratio $7.081 + ε$ for both problems \cite{DBLP:conf/stoc/KrishnaswamyLS18}.

研究动机与目标

• 为具有多重约束的广义k-中位问题开发更紧致的近似算法。
• 通过分析受限线性规划中极点的结构，减少迭代取整过程中的目标函数损失。
• 通过结合伪近似与后处理技术，实现带异常值的k-中位问题和背包k-中位问题的改进真实近似比。
• 刻画由背包约束和覆盖约束定义的多面体中极点的组合结构。
• 利用稀疏化与新颖的后处理技术，实现仅以极低代价对常数个分数变量进行取整。

提出的方法

• 提出一种结构化迭代取整框架，使取整过程中可支持更丰富的约束集合。
• 分析由r1个背包约束和r2个覆盖约束定义的多面体的极点，利用设施集合的二分图交集图特性。
• 通过具有分数设施分配的客户链分解，限制分数变量的数量。
• 应用稀疏化技术在伪近似前对实例进行预处理。
• 开发新型后处理算法，以最小代价对O(1)个分数变量进行取整。
• 采用基分析与线性无关性论证，利用dim(C∗<1) + r来界定分数设施的数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 迭代取整框架能否被进一步优化，以减少广义k-中位问题中的近似比损失？
• RQ2 受限线性规划中极点的哪些结构特性可被利用以改善近似保证？
• RQ3 在带异常值的k-中位问题和背包k-中位问题中，能否以可忽略的代价对常数个分数变量进行取整？
• RQ4 设施集合的交集图如何影响分数解的复杂度？
• RQ5 在广义k-中位问题中，为保持常数因子近似，最少需要多少分数变量？

主要发现

• 本文在仅使用O(1)个分数变量的前提下，实现了广义k-中位问题的6.387-近似比，优于先前的7.081-近似比。
• 对于带异常值的k-中位问题，改进后的算法实现了6.994+ϵ的近似比，超越了此前最佳的7.081+ϵ。
• 对于背包k-中位问题，该算法实现了6.387+ϵ的近似比，与伪近似界一致。
• 分数设施的数量受dim(C∗<1) + r的限制，其中r为总约束数。
• 对具有分数分配的客户的链分解确保了在保持线性无关性预算的基础上，额外仅需3r个设施。
• 该方法在后处理中成功对O(1)个分数变量进行取整，且代价增加可任意小，从而实现了真正的近似算法。