[论文解读] Structural model for the dynamic buckling of a column under constant rate compression

Vitaly A. Kuzkin|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2015

Dynamics and Control of Mechanical Systems参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文提出了一种一维结构模型，用于模拟在恒定速率压缩下柱体的动态屈曲行为，采用质量-弹簧系统来模拟横向失稳。通过解析推导得出，临界屈曲力与压缩速率呈幂律关系，指数约为 2/3，该结果得到实验室实验和数值模拟的验证，解释了观察到的动态屈曲强度显著高于欧拉临界载荷的现象。

ABSTRACT

Dynamic buckling behavior of a column (rod, beam) under constant rate compression is considered. The buckling is caused by prescribed motion of column ends toward each other with constant velocity. Simple model with one degree of freedom simulating static and dynamic buckling of a column is derived. In the case of small initial disturbances the model yields simple analytical dependencies between the main parameters of the problem: critical force, compression rate, and initial disturbance. It is shown that the time required for buckling is inversely proportional to cubic root of compression velocity and logarithmically depends on the initial disturbance. Analytical expression for critical buckling force as a function of compression velocity is derived. It is shown that in a range of compression rates typical for laboratory experiments the dependence is accurately approximated by a power law with exponent close to 2/3. Theoretical findings are supported by available results of laboratory experiments. Keywords: dynamic buckling, Hoff problem, column, Airy equation, Euler force.

研究动机与目标

• 开发一种简化的单维模型，以捕捉在恒定速率端部压缩下柱体动态屈曲的本质物理机制。
• 通过解析方法确定临界屈曲力和屈曲时间对压缩速率和初始几何缺陷的依赖关系。
• 为实验中观察到的临界力与压缩速率之间的幂律依赖关系（特别是指数接近 2/3）提供理论解释。
• 将解析模型与精确非线性方程的数值解以及现有实验数据进行对比验证。

提出的方法

• 一个质点通过线性弹簧连接到两个以恒定速度 v 移动的壁面，用以模拟柱体的轴向和横向刚度，壁面以恒定速度 v 接近。
• 系统的势能包括轴向弹簧（刚度 cL）和横向弹簧（刚度 cT），在 x=0 处达到平衡，直到在临界半间距 aE 处发生失稳。
• 推导出横向位移 x(t) 的运动方程，其中包含随时间变化的壁面间距 a(t) = aE - vt，并在时间 -tE 处设定初始偏移 x0。
• 对所得非线性微分方程进行渐近分析，得到屈曲时间与临界力的解析表达式，使用艾里函数描述不稳定动力学行为。
• 临界力表示为压缩速率 v、初始偏移 x0 和几何参数的函数，关键结果为在小 x0 条件下，F* ∝ v^(2/3)。
• 通过将解析预测与使用 Verlet 保辛积分法获得的数值解以及液压试验机的实验数据进行对比，验证了该模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 在恒定速率压缩下，柱体的临界屈曲力如何依赖于压缩速率和初始几何缺陷？
• RQ2 为何实验中观测到的临界屈曲力显著高于经典欧拉屈曲载荷？其与压缩速率呈幂律关系且指数约为 2/3 的物理机制是什么？
• RQ3 为何屈曲时间与压缩速度的立方根成反比？其物理机制是什么？
• RQ4 简化的单自由度模型在多大程度上能准确捕捉真实柱体的动态屈曲行为？

主要发现

• 动态屈曲所需时间与压缩速度的立方根成反比，且对初始扰动呈对数依赖关系。
• 即使在低压缩速率下，临界屈曲力也超过欧拉临界力，这是由于从不稳定直立状态向稳定屈曲构型转变所需的时间有限所致。
• 对于小的初始扰动，临界屈曲力与压缩速率呈幂律关系，指数约为 2/3，即 F* ∝ v^(2/3)，与实验观测结果一致。
• 该解析模型在广泛的压缩速率和初始缺陷范围内均能准确预测临界力，与数值模拟和实验室实验结果高度吻合。
• 所推导的临界力表达式对长细比和初始偏移具有微弱依赖性，但在小初始扰动极限下，主导标度关系仍为 F* ∝ v^(2/3)。
• 推导出了解析近似有效的条件，要求压缩速率高于一个与临界变形和初始偏移相关的阈值。