[论文解读] Structural Parameterizations with Modulator Oblivion

Ashwin Jacob, Fahad Panolan+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Advanced Graph Theory Research被引用 2

一句话总结

本论文提出了针对顶点覆盖、反馈顶点集和奇圈剔除问题的 2^O(k)-时间算法，参数化为弦图顶点删去集（CVD）的大小 k，且无需将 CVD 作为输入给出。该方法在 2^O(k)n^O(1) 时间内构造一种特殊的树分解，其中每个节点为四个团的并集及 O(k) 个额外顶点，从而在该结构上实现动态规划。关键贡献在于设计了一种自适应算法：要么求解问题，要么输出一个证明，当 CVD 已知时，其时间复杂度与目前已知的最佳上界一致。

ABSTRACT

It is known that problems like Vertex Cover, Feedback Vertex Set and Odd Cycle Transversal are polynomial time solvable in the class of chordal graphs. We consider these problems in a graph that has at most $k$ vertices whose deletion results in a chordal graph, when parameterized by $k$. While this investigation fits naturally into the recent trend of what are called `structural parameterizations', here we assume that the deletion set is not given. One method to solve them is to compute a $k$-sized or an approximate ($f(k)$ sized, for a function $f$) chordal vertex deletion set and then use the structural properties of the graph to design an algorithm. This method leads to at least $k^{\mathcal{O}(k)}n^{\mathcal{O}(1)}$ running time when we use the known parameterized or approximation algorithms for finding a $k$-sized chordal deletion set on an $n$ vertex graph. In this work, we design $2^{\mathcal{O}(k)}n^{\mathcal{O}(1)}$ time algorithms for these problems. Our algorithms do not compute a chordal vertex deletion set (or even an approximate solution). Instead, we construct a tree decomposition of the given graph in time $2^{\mathcal{O}(k)}n^{\mathcal{O}(1)}$ where each bag is a union of four cliques and $\mathcal{O}(k)$ vertices. We then apply standard dynamic programming algorithms over this special tree decomposition. This special tree decomposition can be of independent interest. Our algorithms are adaptive (robust) in the sense that given an integer $k$, they detect whether the graph has a chordal vertex deletion set of size at most $k$ or output the special tree decomposition and solve the problem. We also show lower bounds for the problems we deal with under the Strong Exponential Time Hypothesis (SETH).

研究动机与目标

• 开发针对弦图顶点删去集（CVD）大小参数化的基础图问题的固定参数可满足算法，且不假设 CVD 已知。
• 解决一个开放问题：即当仅能保证 CVD 大小时，是否可在 2^O(k) 时间内求解原本在弦图上可多项式时间求解的问题。
• 设计一种自适应算法，要么求解问题，要么输出结构证书（一种特殊树分解），类似于 Raghavan-Spinrad 算法在单位圆图上的应用。
• 在强指数时间假设（SETH）下建立这些问题的紧致下界，即使 CVD 已提供。

提出的方法

• 在 2^O(k)n^O(1) 时间内构造输入图的树分解，其中每个节点为四个团的并集及 O(k) 个附加顶点。
• 在该专用树分解上使用动态规划求解顶点覆盖、反馈顶点集和奇圈剔除问题。
• 避免计算或近似 CVD；相反，算法直接基于弦图的结构特性操作于图结构。
• 利用弦图对目标问题具有多项式时间解法的事实，从而在树分解上实现高效动态规划。
• 设计一种自适应算法，要么求解问题，要么输出树分解，提供不可解性的结构证书。
• 通过从击中集问题到顶点覆盖问题的规约，证明基于 SETH 的下界，表明 2^O(k) 时间在子指数因子范围内已达到最优。

实验结果

研究问题

• RQ1 当仅能保证弦图顶点删去集大小时，是否可在 2^O(k) 时间内求解顶点覆盖、反馈顶点集和奇圈剔除问题，而无需提供该集合本身？
• RQ2 是否可设计一种自适应算法，既不计算 CVD，又能要么求解问题，要么输出结构证书（如特殊树分解）？
• RQ3 即使 CVD 已提供，这些问题在强指数时间假设（SETH）下的紧致下界是什么？
• RQ4 该方法能否推广至其他以弦图删去集为参数的问题，特别是那些在弦图上为 NP-难的问题？

主要发现

• 本论文提出，当参数化为弦图顶点删去集大小时，顶点覆盖、反馈顶点集和奇圈剔除问题的 2^O(k)n^O(1) 时间算法，即使未提供该集合本身亦可实现。
• 这些算法在 2^O(k)n^O(1) 时间内构造一种特殊树分解，其中每个节点为四个团的并集及 O(k) 个顶点，从而支持高效的动态规划。
• 该方法具有自适应性：要么求解问题，要么输出树分解，提供类似 Raghavan-Spinrad 算法在单位圆图上的证书机制。
• 论文证明，在强指数时间假设（SETH）下，即使 CVD 已提供，这些问题也无法在 O*( (2−ϵ)^k ) 时间内求解（对任意 ϵ>0），表明上界本质上是紧致的。
• 通过从击中集到 CVD 顶点覆盖的规约，证明在 SETH 下，即使给定模化器，该问题也无法在 2^O(k) 时间以下求解。
• 结果可推广至簇顶点删去集，表明顶点覆盖参数化为簇顶点删去集大小时，同样无法在 SETH 下以 O*( (2−ϵ)^k ) 时间求解。