[论文解读] Structural Parameters, Tight Bounds, and Approximation for (k,r)-Center

Ioannis Katsikarelis, Michael Lampis+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 25被引用 6

一句话总结

本文针对以 clique-width、treewidth、tree-depth、vertex cover 和 feedback vertex set 等结构图参数为参数的 (k,r)-Center 问题，提供了紧密的细粒度复杂度界限。针对 clique-width，提出了一个最优的 O*( (3r+1)^{cw} ) 动态规划算法，并通过 SETH 基础的下界证明其渐近最优性；同时，为 treewidth 和 clique-width 开发了 FPT 近似方案，可在时间 O*( (tw/ε)^{O(tw)} ) 和 O*( (cw/ε)^{O(cw)} ) 内获得 (1+ε)-近似解。

ABSTRACT

In $(k,r)$-Center we are given a (possibly edge-weighted) graph and are asked to select at most $k$ vertices (centers), so that all other vertices are at distance at most $r$ from a center. In this paper we provide a number of tight fine-grained bounds on the complexity of this problem with respect to various standard graph parameters. Specifically: - For any $r\ge 1$, we show an algorithm that solves the problem in $O^*((3r+1)^{ extrm{cw}})$ time, where $ extrm{cw}$ is the clique-width of the input graph, as well as a tight SETH lower bound matching this algorithm's performance. As a corollary, for $r=1$, this closes the gap that previously existed on the complexity of Dominating Set parameterized by $ extrm{cw}$. - We strengthen previously known FPT lower bounds, by showing that $(k,r)$-Center is W[1]-hard parameterized by the input graph's vertex cover (if edge weights are allowed), or feedback vertex set, even if $k$ is an additional parameter. Our reductions imply tight ETH-based lower bounds. Finally, we devise an algorithm parameterized by vertex cover for unweighted graphs. - We show that the complexity of the problem parameterized by tree-depth is $2^{Θ( extrm{td}^2)}$ by showing an algorithm of this complexity and a tight ETH-based lower bound. We complement these mostly negative results by providing FPT approximation schemes parameterized by clique-width or treewidth which work efficiently independently of the values of $k,r$. In particular, we give algorithms which, for any $ε>0$, run in time $O^*(( extrm{tw}/ε)^{O( extrm{tw})})$, $O^*(( extrm{cw}/ε)^{O( extrm{cw})})$ and return a $(k,(1+ε)r)$-center, if a $(k,r)$-center exists, thus circumventing the problem's W-hardness.

研究动机与目标

• 建立 (k,r)-Center 问题在主要结构图参数下的紧密细粒度复杂度界限。
• 通过提供匹配的上下界，解决 Dominating Set 参数化为 clique-width 时的开放复杂度间隙问题。
• 研究当允许边权时，(k,r)-Center 在 vertex cover 和 feedback vertex set 参数下的参数化复杂度。
• 设计高效的 FPT 近似方案，通过牺牲解的质量来换取运行时间效率，从而规避该问题的 W-难问题特性。
• 阐明随着 r 增大，(k,r)-Center 的复杂度与 Dominating Set 的差异，尤其是在不同结构参数下的表现。

提出的方法

• 设计基于 clique-width 表达式的动态规划算法，运行时间为 O*( (3r+1)^{cw} )，利用快速子集卷积和问题特化的表大小优化。
• 通过从 SAT 的约化，建立基于 SETH 的下界 O*( (3r+1−ε)^{cw} )，证明该算法渐近最优。
• 应用基于 ETH 的约化，表明 (k,r)-Center 是 W[1]-难的，且除非 ETH 失效，否则无法在时间 n^{o(vc+k)} 或 n^{o(fvs+k)} 内求解。
• 提出一种针对无权图、参数化为 vertex cover 的 FPT 算法，运行时间为 O*(5^{vc})，与 ETH 基础的下界相辅相成。
• 从 clique-width 表达式构造宽度为 O(cw) 的树分解，以支持在 treewidth 上进行动态规划，利用标签大小约束。
• 设计一种 FPT 近似方案：对于任意 ε>0，可在时间 O*( (tw/ε)^{O(tw)} ) 或 O*( (cw/ε)^{O(cw)} ) 内计算出 (k,(1+ε)r)-中心，使用树分解或 clique-width 分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当参数化为 clique-width 时，(k,r)-Center 的精确参数化复杂度是多少？已知最佳算法是否最优？
• RQ2 边权的引入如何影响 (k,r)-Center 在 vertex cover 和 feedback vertex set 参数下的参数化复杂度？
• RQ3 能否为 (k,r)-Center 设计 FPT 近似方案，以绕过其 W-难问题特性，同时保持良好的近似保证？
• RQ4 随着 r 增大，(k,r)-Center 的复杂度与 Dominating Set 相比如何，尤其是在不同结构参数下？
• RQ5 是否存在针对 tree-depth 参数化的 (k,r)-Center 的紧密 ETH 基础下界？当前算法是否最优？

主要发现

• 本文建立了 (k,r)-Center 的紧密 SETH 基础下界 O*( (3r+1−ε)^{cw} )，与 O*( (3r+1)^{cw} ) 算法完全匹配，从而填补了以 clique-width 参数化时 Dominating Set 的复杂度间隙。
• 对于边权图，(k,r)-Center 是 W[1]-难的，且除非 ETH 失效，否则无法在时间 n^{o(vc+k)} 内求解，即使 k 是额外参数。
• 针对无权 (k,r)-Center 参数化为 vertex cover，提出了一种运行时间为 O*(5^{vc}) 的 FPT 算法，与基于 ETH 的下界 n^{o(vc+k)} 相辅相成。
• 对于无权图，(k,r)-Center 可在时间 O*(2^{O(td^2)}) 内求解，且该界在 ETH 下是紧的，因为除非 ETH 失效，否则不存在 o(td^2) 的算法。
• 开发了 FPT 近似方案：对于任意 ε>0，可在时间 O*( (tw/ε)^{O(tw)} ) 或 O*( (cw/ε)^{O(cw)} ) 内计算出 (k,(1+ε)r)-中心，前提是提供树分解或 clique-width 分解。
• 结果表明，随着 r 增大，(k,r)-Center 的复杂度显著高于 Dominating Set（r=1），尤其在 vertex cover 和 feedback vertex set 参数下，凸显了复杂度在结构上的差异。