[论文解读] Structural physical approximation of partial transposition makes possible to distinguish SLOCC inequivalent classes of three-qubit system

Anu Kumari, Satyabrata Adhikari|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2022

Quantum Information and Cryptography参考文献 33被引用 4

一句话总结

本文提出了一种物理上可实现的方法，通过部分转置的结构物理近似（SPA-PT）来检测和分类三量子比特纠缠态的SLOCC非等价类。通过将非物理的部分转置映射近似为完全正映射，作者推导出三量子比特密度矩阵的SPA-PT显式矩阵表示，并建立了一个实验上可实现的标准，基于特征值阈值和三聚体纠缠度分析，以区分GHZ类与W类态。

ABSTRACT

Detection and classification of entanglement properties of a multi-qubit system is a topic of great interest. This topic has been studied extensively and thus we found different approaches for the detection and classification of multi-qubit entangled states. We have applied partial transposition operation on one of the qubit of the three-qubit system and then studied the entanglement properties of the three-qubit system, which is under investigation. Since the partial transposition operation is not a quantum operation so we have approximated partial transposition operation in such a way so that it represent a completely positive map. The approximated partial transposition operation is also known as structural physical approximation of partial transposition (SPA-PT). We have studied in detail the application of SPA-PT on a three qubit system and provided explicitly the matrix elements of the density matrix describing SPA-PT of a three qubit system. Moreover, we propose criterion to classify all possible stochastic local operations and classical communication(SLOCC) inequivalent classes of a pure as well as mixed three qubit state through SPA-PT map, which makes our criterion experimentally realizable. We have illustrated our criterion for detection and classification of three-qubit entangled states by considering few examples.

研究动机与目标

• 为解决在三量子比特系统中实验检测和分类多体纠缠的挑战。
• 克服部分转置作为非完全正映射的局限性，该映射无法在真实实验中实现。
• 基于SPA-PT开发一种物理上可实现的判据，用于区分纯态与混合态的三量子比特SLOCC非等价类。
• 提供在任一量子比特上进行部分转置时，三量子比特密度矩阵的SPA-PT映射的显式矩阵表示。
• 通过三聚体纠缠度和特征值阈值对GHZ类与W类态进行解析分类，以验证该方法。

提出的方法

• 对部分转置（PT）映射应用结构物理近似（SPA），将其转化为可在实验中实现的完全正映射。
• 推导出三量子比特密度算符的SPA-PT映射的显式矩阵元，当对任一量子比特施加转置时，表示为2×2分块矩阵形式。
• 将SPA-PT变换后密度矩阵的最小特征值用作检测判据：若小于2/9，则该态为纠缠态（适用于2⊗2系统）。
• 引入基于三聚体纠缠度和特征值分析的判据，根据参数范围将态分类为SLOCC非等价类（GHZ类与W类）。
• 通过分析最小特征值和三聚体纠缠度随态参数变化的行为，将SPA-PT判据应用于混合态。
• 以2⊗2系统的简化SPA-PT判据作为基准，其纠缠检测阈值为2/9。

实验结果

研究问题

• RQ1 结构物理近似部分转置（SPA-PT）能否用于区分三量子比特纠缠态的SLOCC非等价类？
• RQ2 在任一单个量子比特上进行转置时，三量子比特密度矩阵的SPA-PT映射的显式矩阵表示是什么？
• RQ3 SPA-PT变换后态的最小特征值如何用于将三量子比特态分类为GHZ类或W类？
• RQ4 所提出的SPA-PT判据能否在实验中实现，并应用于纯态与混合态的三量子比特态？
• RQ5 在混合三量子比特态中，哪些参数范围会导致非零三聚体纠缠度，表明为GHZ类纠缠？

主要发现

• SPA-PT映射将非物理的部分转置转化为完全正映射，从而实现了纠缠检测的实验实现。
• 对于纠缠的2⊗2系统，SPA-PT变换后密度矩阵的最小特征值小于2/9，提供了一个可测量的纠缠判据。
• 对于参数化为q1和q2 = (1−q1)/n的混合三量子比特态，当0.25 ≤ q1 ≤ 0.629时，三聚体纠缠度为零，可识别为W类。
• 当0.6269 < q1 ≤ 1且q2 = (1−q1)/n时，三聚体纠缠度变为非零，表明存在真正的三体纠缠，可检测为GHZ类。
• 所提出的判据能够利用实验可测物理量对所有SLOCC非等价类的三量子比特态进行分类。
• 通过解析示例验证了该方法，证明其在无需完整态层析技术的情况下，有效区分纠缠类。