[论文解读] Structural stability of the transonic shock problem in a divergent three dimensional axisymmetric perturbed nozzle

Shangkun Weng, Chunjing Xie+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 26被引用 5

一句话总结

该论文在来流超音速流、喷管边界和出口压力受到扰动的条件下，建立了具有旋流速度的三维轴对称扩张喷管中跨音速激波的结构稳定性。通过引入一种可逆的拉格朗日变换以使流线变直，作者将欧拉系统转化为带有非局部项和未知激波面的二阶椭圆方程，证明了在一般扰动下解的存在性与正则性。

ABSTRACT

In this paper, we prove the structural stability of the transonic shocks for three dimensional axisymmetric Euler system with swirl velocity under the perturbations for the incoming supersonic flow, the nozzle boundary, and the exit pressure. Compared with the known results on the stability of transonic shocks, one of the major difficulties for the axisymmetric flows with swirls is that corner singularities near the intersection point of the shock surface and nozzle boundary and the artificial singularity near the axis appear simultaneously. One of the key points in the analysis for this paper is the introduction of an invertible Lagrangian transformation which can straighten the streamlines in the whole nozzle and help to represent the solutions of transport equations explicitly.

研究动机与目标

• 在超音速来流、喷管几何形状和出口压力受到扰动的条件下，建立三维轴对称带旋流喷管中跨音速激波的结构稳定性。
• 解决激波-喷管边界交界处的角奇点与轴附近人工奇点在旋流流动中同时存在的影响。
• 构建一个稳健的分析框架，能够处理欧拉系统中激波间断引起的双曲与椭圆行为的复杂相互作用。
• 将结构稳定性理论从势流和无旋轴对称流推广到包含旋流速度的更一般情形。

提出的方法

• 引入一种在整个喷管内可逆的拉格朗日变换，使流线变直，从而实现传输方程的显式表示。
• 将带有旋流的稳态三维轴对称欧拉系统转化为带有非局部项和未知激波面参数的二阶椭圆方程。
• 利用特征线法求解方位速度分量 $ U_3 $ 的传输方程，确保解的唯一性与正则性。
• 应用偶延拓技术，在激波与喷管壁相交的角点处实现 $ C^{2,eta} $ 正则性。
• 采用能量估计与加权范数，控制由轴线和激波边界交界处引起的奇异性。
• 利用方程的结构特性，证明来流、喷管形状和出口压力的扰动将导致激波与流场的 $ C^{2,eta} $ 光滑扰动。

实验结果

研究问题

• RQ1 在三维轴对称扩张喷管中，带有旋流的跨音速激波是否在超音速来流、喷管边界和出口压力受到扰动时仍保持结构稳定性？
• RQ2 在旋流跨音速流的分析中，如何控制激波-壁面交界处的角奇点与轴向奇点的综合影响？
• RQ3 能否在三维轴对称带旋流喷管中全局构造一种拉格朗日变换，使流线变直并实现解的显式表示？
• RQ4 在问题数据的小扰动下，激波面与流场变量的正则性特征是否得以保持？
• RQ5 在存在旋流的情况下，跨音速激波的结构稳定性是否对一般扰动具有鲁棒性，如同无旋流情形一样？

主要发现

• 在三维轴对称扩张喷管中，带有旋流的跨音速激波在来流超音速流、喷管边界和出口压力受到小扰动时保持结构稳定性。
• 引入可逆的拉格朗日变换成功地使流线变直，并实现了对传输方程解的显式表示，尤其适用于 $ U_3 $。
• 扰动问题的解在激波面和喷管边界处仍保持 $ C^{2,eta} $ 正则性，即使存在角奇点和轴向奇点。
• 激波面与流场变量对问题数据的扰动表现出光滑依赖性，激波位置与强度随小变化连续调整。
• 分析结果表明，旋流引起的附加项（$ U_3^2 $）为低阶误差项，不会破坏结构稳定性的框架。
• 通过改进的偶延拓方法，建立了角点附近的解正则性，确保在激波-壁面交界处邻域内具有 $ C^{2,eta} $ 光滑性。