[论文解读] Structural Tractability of Counting of Solutions to Conjunctive Queries

Arnaud Durand, Stefan Mengel|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2013

Algorithms and Data Compression参考文献 21被引用 12

一句话总结

本文引入量化星形大小作为结构参数，用于表征可 tractable 计数合取查询（CQs）解的条件。证明了对于广义超树宽或树宽有界的 CQ 类，解的计数是 tractable 的充要条件是量化星形大小有界——为非环状查询的可 tractable 计数提供了精确刻画。

ABSTRACT

In this paper we explore the problem of counting solutions to conjunctive queries. We consider a parameter called the \emph{quantified star size} of a formula $φ$ which measures how the free variables are spread in $φ$. We show that for conjunctive queries that admit nice decomposition properties (such as being of bounded treewidth or generalized hypertree width) bounded quantified star size exactly characterizes the classes of queries for which counting the number of solutions is tractable. This also allows us to fully characterize the conjunctive queries for which counting the solutions is tractable in the case of bounded arity. To illustrate the applicability of our results, we also show that computing the quantified star size of a formula is possible in time $n^{O(k)}$ for queries of generalized hypertree width $k$. Furthermore, quantified star size is even fixed parameter tractable parameterized by some other width measures, while it is $\W{1}$-hard for generalized hypertree width and thus unlikely to be fixed parameter tractable. We finally show how to compute an approximation of quantified star size in polynomial time where the approximation ratio depends on the width of the input.

研究动机与目标

• 识别合取查询解计数可 tractable 的结构条件，将先前针对环状查询的结果扩展至一般 CQs。
• 为一般合取查询定义并形式化量化星形大小的概念，衡量查询结构中自由变量的分布范围。
• 建立量化星形大小有界与广义超树宽或树宽有界相结合时，精确刻画可 tractable 计数类。
• 提供高效算法用于计算或近似量化星形大小，并分析其参数复杂度。
• 探讨其在更广泛逻辑扩展中的影响，如 QCSP 和析取查询，提出未来研究方向。

提出的方法

• 使用超图分解和分数超树覆盖，将量化星形大小的概念从环状查询推广至任意合取查询。
• 将量化星形大小定义为在分数超树分解下，由自由变量诱导的子超图中最大独立集的大小。
• 利用宽度为 $k$ 的分数超树分解来限制量化星形大小，并将其与解计数的复杂度相关联。
• 通过添加约束来构建变换后的查询 $ abla'$，以建模变量依赖关系，同时保持解的等价性。
• 在分数超树分解上应用动态规划，以时间 $|\mathcal{H}|^{k^{O(1)}}$ 计算最大独立集（即量化星形大小）。
• 利用已知的分数超树宽与解枚举结果，推导出具有宽度依赖近似比的量化星形大小近似算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非环状情况下，何种结构参数可刻画合取查询解计数的可 tractable 性？
• RQ2 在计数复杂度背景下，量化星形大小与广义超树宽、树宽等已知宽度假设之间有何关系？
• RQ3 量化星形大小能否被高效计算？其在不同宽度假设下的参数复杂度如何？
• RQ4 计数可 tractable 性在包含析取或全称量词的查询中可被扩展到何种程度？
• RQ5 在 CQs 的扩展（如 QCSP）中，决策可 tractable 性与计数可 tractable 性之间是否存在紧密联系？

主要发现

• 在假设 $\mathbf{FPT} \neq \mathbf{\#W[1]}$ 的前提下，合取查询解的计数是 tractable（多项式时间）当且仅当查询的量化星形大小有界。
• 对于广义超树宽 $k$ 有界的查询，量化星形大小的计算可在时间 $n^{O(k)}$ 内完成，且关于 $k$ 是固定参数可 tractable 的。
• 当以广义超树宽为参数时，量化星形大小是 $\mathbf{W[1]}$-难的，表明在标准复杂度假设下，其不太可能是固定参数可 tractable 的。
• 量化星形大小的近似可在多项式时间内计算，近似比取决于输入查询的宽度。
• 为变换后的查询 $\nabla'$ 构建宽度为 $k'$ 的分数超树分解，可确保宽度最多被常数因子放大，从而支持高效计数。
• 通过在分解上应用动态规划，可在时间 $|\mathcal{H}|^{k^{O(1)}}$ 内计算分数超树宽为 $k$ 的超图中的最大独立集。