[论文解读] Structure and automorphisms of primitive coherent configurations

Xiaorui Sun, John Wilmes|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2015

graph theory and CDMA systems被引用 8

一句话总结

本文对具有大自同构群的原始一致配置（PCC）进行分类，证明除三类例外家族（完全图、三角形图和格图）外，任意PCC的自同构群大小至多为 exp(Õ(n¹/³))。该结果提供了对原胞传递置换群阶的上界的CFSG无关证明，推进了Babai关于具有超过 exp(n^ε) 个自同构的PCC分类的猜想。

ABSTRACT

Coherent configurations (CCs) are highly regular colorings of the set of ordered pairs of a "vertex set"; each color represents a "constituent digraph." CCs arise in the study of permutation groups, combinatorial structures such as partially balanced designs, and the analysis of algorithms; their history goes back to Schur in the 1930s. A CC is primitive (PCC) if all its constituent digraphs are connected. We address the problem of classifying PCCs with large automorphism groups. This project was started in Babai's 1981 paper in which he showed that only the trivial PCC admits more than $\exp( ilde{O}(n^{1/2}))$ automorphisms. (Here, $n$ is the number of vertices and the $ ilde{O}$ hides polylogarithmic factors.) In the present paper we classify all PCCs with more than $\exp( ilde{O}(n^{1/3}))$ automorphisms, making the first progress on Babai's conjectured classification of all PCCs with more than $\exp(n^ε)$ automorphisms. A corollary to Babai's 1981 result solved a then 100-year-old problem on primitive but not doubly transitive permutation groups, giving an $\exp( ilde{O}(n^{1/2}))$ bound on their order. In a similar vein, our result implies an $\exp( ilde{O}(n^{1/3}))$ upper bound on the order of such groups, with known exceptions. This improvement of Babai's result was previously known only through the Classification of Finite Simple Groups (Cameron, 1981), while our proof, like Babai's, is elementary and almost purely combinatorial. Our analysis relies on a new combinatorial structure theory we develop for PCCs. In particular, we demonstrate the presence of "asymptotically uniform clique geometries" on PCCs in a certain range of the parameters.

研究动机与目标

• 对具有大自同构群的原始一致配置（PCC）进行分类，扩展Babai于1981年关于 exp(Õ(n¹/²)) 自同构指数上界的结论。
• 朝着Babai的猜想取得进展，即所有具有超过 exp(n^ε) 个自同构的PCC均为Cameron构型（即本原群的轨道配置）
• 提供原胞传递置换群阶上界的CFSG无关证明，改进了依赖于有限单群分类（CFSG）的Cameron的结果
• 为PCC发展新的组合结构理论，特别是识别关键参数范围内的“渐近均匀团几何结构”

提出的方法

• 对PCC中边颜色i的区分数 D(i) 进行精细化分析，以限制自同构群的大小
• 对 Õ(n¹/³) 个顶点进行个体化，随后应用朴素的颜色细化，以完全分离非例外PCC
• 利用结构常数 p^i_jk 和构成有向图的性质，分析PCC中的连通性与正则性
• 使用涉及 n_j, λ_j, μ 和 ρ（与子配置中顶点数相关的参数）的渐近估计，以限制三元组和良好配置的数量
• 利用关于非主导颜色和良好三元组的引理，建立对每对 (u,v) 的 Ω(n_i n_j²) 个良好配置，从而得出自同构的上界
• 对不同范围的 ρ 应用 D(i) 的上界：当 ρ < n/3 时，D(1)=Ω(ρ) 且 D(i)≥Ω((D(1)n/ρ)^2/3)；当 ρ ≥ n/3 时，D(i)≥Ω(√(ρ n_i / log n))

实验结果

研究问题

• RQ1 所有具有超过 exp(n^ε) 个自同构的PCC是否如Babai所猜想的那样，必定是Cameron构型？
• RQ2 正如猜想1.2所建议的那样，是否可以将PCC自同构群的上界改进至 ρ = Θ(n²/³) 以下的 exp(O(n^o(1)))？
• RQ3 是否可以将一般PCC的分析简化为所有颜色对称的关联方案（即所有颜色对称）的情形，因为非对称颜色会增加自同构计数的复杂性？
• RQ4 当 ρ ≥ n²/³ 时，PCC中边颜色的区分数 D(i) 的最紧上界是什么？是否可以将其改进至超过 Ω(n²/³)？

主要发现

• 对于不属于三类例外家族（完全图、三角形图和格图）的任意PCC，其自同构群大小至多为 exp(O(n¹/³ log⁷/³ n))
• 该结果意味着，对于非双倍传递的原胞传递置换群，其阶的上界为 exp(Õ(n¹/³))，且不依赖于有限单群分类（CFSG）
• 本文证明，当 ρ = o(n¹/³) 时，非例外PCC满足 |Aut(𝒳)| ≤ exp(Õ(n¹/⁴))，表明该区域并非进一步改进的主要瓶颈
• 当 ρ = Θ(n²/³) 时，Johnson和Hamming构型作为额外的例外出现，其自同构群大小为 exp(Θ(n¹/³ log n))，表明当前上界在多对数因子范围内已达到紧致性
• 分析识别出在关键参数范围内存在“渐近均匀团几何结构”，这是本文所发展的结构理论的核心
• 本文证实，对于有界秩的PCC，Babai关于使用 O((n/ρ) log n) 个顶点即可实现分裂的猜想成立，从而支持了更广泛的猜想